Question

Efetue o desenvolvimento do seguinte binômio (x-1/2)^6

Answer 1

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula do desenvolvimento do binômio, dada por:

$\orange{\boxed{\green{ \boxed{\red{ \boxed{ \sf(a +b) {}^{n} = \sum_{n = 0} ^{n} \: {}^{b} C_{a} .a {}^{n - p} .b {}^{p} } }}}}}$

Onde:

• "a" e "b" representam respectivamente o primeiro e o segundo número do binômio;

• "n" representa o expoente;

• "p" representa a "posição" do número;

• A letra grega "Sigma" representa o somatório de todos os números binomiais.

Para usar essa fórmula você deve dispor o primeiro número com o expoente do binômio e decrescendo o mesmo até atingir o expoente "0", já o segundo deve iniciar com o expoente igual a "0" e crescer até atingir o expoente do binômio.

$\begin{cases} \sf a {}^{n} + a {}^{n - 1} + a {}^{n - 2} ....a {}^{0} \\ \\ \sf b {}^{0} + b {}^{0 + 1} + b {}^{0 + 2} ....b {}^{n} \end{cases}$

Agora que sabemos usar a fórmula, vamos partir de fato aos cálculos:

$\sf \left(x - \frac{1}{2} \right) {}^{6} = \binom{6}{0} .x {}^{6} . \left( \frac{1}{2} \right)^{0} - \binom{6}{1}.x {}^{5}. \left( \frac{1}{2} \right)^{1} + \binom{6}{2} .x {}^{4} . \left( \frac{1}{2} \right)^{2} - \binom{6}{3} .x {}^{3}.\left( \frac{1}{2} \right)^{3} + \binom{6}{4} .x {}^{2} .\left( \frac{1}{2} \right)^{4} - \binom{6}{5} .x {}^{1} .\left( \frac{1}{2} \right)^{5} + \binom{6}{6} .x {}^{0}.\left( \frac{1}{2} \right)^{6}\\ \\ \sf \sf \left(x - \frac{1}{2} \right) {}^{6} = 1.x {}^{6} .1 - 6.x {}^{5} . \frac{1}{2} +15. {x}^{4} . \frac{1}{4} - 20.x {}^{3} . \frac{1}{8} + 15.x {}^{2} . \frac{1}{16} - 6.x. \frac{1}{32} + 1.1. \frac{1}{64} \\ \\ \sf \sf \left(x - \frac{1}{2} \right) {}^{6} = x {}^{6} - \frac{6x {}^{5} }{2} + \frac{15x {}^{4} }{4} - \frac{20x {}^{3} }{8} + \frac{15 {x}^{2} }{16} - \frac{6x}{32} + \frac{1}{64} \\ \\ \sf \pink{\boxed{\blue{\boxed{\purple{\boxed{ \sf \left(x- \frac{1}{2} \right) {}^{6} = x {}^{6} - 3x {}^{5} + \frac{15x {}^{4} }{4} - \frac{5x {}^{3} }{2} + \frac{15x {}^{2} }{16} - \frac{ 3x}{16} + \frac{1}{64} }}}}}}$

Espero ter ajudado