Question

Efetue as seguintes divisões de números complexos:

a)-10+15i /2-i
b)1+3i /1+i

Answer 1

Resposta:

a) - 7 + 4i              b) 2 + i

Explicação passo a passo:

Divisão de números complexos

Observação 1 → Divisão de números complexos ( regra )

Para efetuar a divisão, multiplica-se o numerador e o denominador, pelo

conjugado do denominador

Observação 2 → Conjugado de um número complexo

Um número complexo do tipo z = a + bi, tem duas partes.

A parte real ( "a" ) e a parte imaginária " bi".

O conjugado de um número complexo, mantém a parte real, mas na parte

imaginária aparece o oposto ( simétrico)

Conjugado de z = a + bi é  z = a - bi

a)

$\frac{-10+15i}{2-i} = \frac{(-10+15i)*(2+i)}{(2-i)*(2+i)}$

Vou usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

algébrica( inclui adição e subtração ), vulgarmente conhecida pela "regra do

chuveirinho ".

Observação 3 → O Produto Notável " A diferença de dois quadrados"

Quando temos a² - b² esta diferença de dois valores ao quadrado , é  igual a ( a + b) * ( a - b)

Mas tanto podemos fazer:

a² - b² =  ( a + b) * ( a - b)

como fazer "ao contrário"

( a + b) * ( a - b) = a² - b²

→ Aqui temos (2 - i) * ( 2 + i) que vem igual a 2² - i²

Observação 4 → Valor de i²

$i^{2}= i*i=\sqrt{-1} *\sqrt{-1} } =(\sqrt{-1} )^{2} =-1$

Isto acontece porque extrair a raiz quadrada de "algo" e em seguida elevar

ao quadrado, vai dar o valor inicial.

A potenciação e a radiciação são operações inversas uma da outra.

Outro exemplo:

Usando o valor 7 , extrai a raiz quadrada ,√7 e de seguida elevar ao

quadrado (√7)² vai dar 7.

$\frac{-10*2+(-10)*i+15i*2+15i*i}{2^2-i^2}=\frac{-20-10i+30i+15i^2}{4-(-1)} =\frac{-20+20i+15*(-1)}{5} =\frac{-35+20i}{5}$

Simplificando, ao por "5" em evidência no numerador.

Como vai ficar um multiplicação no numerador, pode o 5 no numerador

cancelar-se com o 5 no denominador.

$\frac{-35+20i}{5} =\frac{5*(-7+5i)}{5} =-7+5i$

b)

$\frac{1+3i}{1+i}=\frac{(1+3i)*(1-i)}{(1+i)*(1-i)} =\frac{1*1+1*(-i)+3i*1+3i*(-i)}{1^2-i^2}$

$\frac{1-i+3i-3i^2}{1-(-1)} =\frac{1+2i-3*(-1)}{1+1} =\frac{1+2i+3}{2} =\frac{4+2i}{2}=\frac{2*(2+i)}{2} =2+i$

Colocando "2" evidência , no numerador, para depois cancelar com o "2" no

denominador.

Bons estudos.

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Sinais: ( * ) multiplicação    ( i )  unidade imaginária  $i=\sqrt{-1}$