Question

Efetue a inequação: VALENDO (50 PONTOS)

$\left \{ \begin{array} {l} 6x+8\ \textless \ 7x+2\\ 3x/2-5\ \textgreater \ (x-1)/3 \end{array} \right.$


Obrigado!

Answer 1

Resolver o sistema de inequações:

$\left\{\!\begin{array}{lc} \mathtt{6x+8<7x+2}&\quad\mathtt{(i)}\\\\ \mathtt{\dfrac{3x}{2}-5>{\dfrac{x-1}{3}}}&\quad\mathtt{(ii)} \end{array} \right.$

________

Resolvemos as inequações $\mathtt{(i)}$ e $\mathtt{(ii)}$ separadamente, e ao final, fazemos a interseção entre as soluções.


•  Resolvendo $\mathtt{(i)}:$

$\mathtt{6x+8<7x+2}\\\\ \mathtt{-7x+6x+8<-7x+7x+2}\\\\ \mathtt{-x+8<2}\\\\ \mathtt{-x+8-8<2-8}\\\\ \mathtt{-x<-6}$


Multiplicando os dois lados da desigualdade por $\mathtt{(-1)},$ o sentido da desigualdade se inverte, pois multiplicamos por um número negativo:

( o sinal "<" se torna ">" )

$\mathtt{x>6}$


A solução da inequação $\mathtt{(i)}:$

$\mathtt{S_{(i)}=\{x\in\mathbb{R}:~x>6\}=(6,\,+\infty)}$

_____

•  Resolvendo $\mathtt{(ii)}:$

$\mathtt{\dfrac{3x}{2}-5>{\dfrac{x-1}{3}}}$


Multiplicando os dois lados da desigualdade por $\mathtt{6,}$ o sentido da desigualdade é preservado, pois multiplicamos por um número positivo:

( o sinal ">" permanece ">" )

$\mathtt{6\cdot \left(\dfrac{3x}{2}-5\right)>{6\cdot \dfrac{x-1}{3}}}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{18x}{2}-30>{\dfrac{6x-6}{3}}}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 9x}{\diagup\!\!\!\! 2}-30>{\dfrac{\diagup\!\!\!\! 3\cdot (2x-2)}{\diagup\!\!\!\! 3}}}\\\\\\ \mathtt{9x-30>2x-2}$

$\mathtt{-2x+9x-30>-2x+2x-2}\\\\ \mathtt{7x-30>-2}\\\\ \mathtt{7x-30+30>-2+30}\\\\ \mathtt{7x>28}$


Multiplicando os dois lados por $\mathtt{\dfrac{1}{7}},$ que é positivo, mantém-se o sentido da desigualdade:

$\mathtt{\diagup\!\!\!\! 7x\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 7}>28\cdot \dfrac{1}{7}}\\\\\\ \mathtt{x>\dfrac{28}{7}}\\\\\\ \mathtt{x>4}$


A solução da inequação $\mathtt{(ii)}:$

$\mathtt{S_{(ii)}=\{x\in\mathbb{R}:~x>4\}=(4,+\infty)}$

__________

A solução do sistema é a interseção entre as soluções de cada inequação:

$\begin{array}{cc} \mathtt{S_{(i)}}\quad&\underline{\quad\quad\quad\quad}\underset{4}{\circ}\underline{\quad\quad\quad\quad}\underset{6}{\circ}\underline{********}\\\\ \mathtt{S_{(ii)}}\quad&\underline{\quad\quad\quad\quad}\underset{4}{\circ}\underline{******}\underset{6}{\bullet}\underline{********}\\\\ \mathtt{S_{(i)}\cap S_{(ii)}}\quad&\underline{\quad\quad\quad\quad}\underset{4}{\circ}\underline{\quad\quad\quad\quad}\underset{6}{\circ}\underline{********}\end{array}$


Logo, a solução do sistema é

$\mathtt{S=S_{(i)}\cap S_{(ii)}}\\\\ \mathtt{S=(4,+\infty)\cap (6,\,+\infty)}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{S=(6,\,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}:~x>6\}} \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)