Question

Efetue a divisão dos polinômios pelo método da chave:
$x^{4} -10x^{3} +24x^{2}+10x-24$ por $x^{2} - 6x+5$

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Organizando a divisão:

$\begin{array}{r|c}x^{4}-10x^{3} +24x^{2}+10x-24 & x^{2}-6x+5 \end{array}$

Primeiro ciclo:

Para começar a divisão pegue o primeiro número do polinômio do Divisor e divida pelo primeiro número do dividendo:

$\frac{x {}^{4} }{x {}^{2} } = x {}^{4 - 2} = \boxed{x {}^{2}}$

Tendo feito isso, substitua tal valor no quociente:

$\begin{array}{r|c}x^{4}-10x^{3} +24x^{2}+10x-24 & x^{2}-6x+5 \\ &x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{array}$

Agora multiplique esse quociente pelo polinômio do dividendo:

$(x {}^{2} - 6x + 5).(x {}^{2} ) \\ x {}^{2} .x {}^{2} - 6x.x {}^{2} + 5.x {}^{2} \\ \boxed{ x {}^{4} - 6x {}^{3} + 5x {}^{2}}$

Para finalizar esse primeiro ciclo da divisão, passe o resultado para o outro lado da divisão com os sinais trocados:

$\begin{array}{r|c} \cancel{x^{4}}-10x^{3} +24x^{2}+10x-24 & x^{2}-6x+5 \\ \cancel{- x {}^{4}} + 6x {}^{3} - 5x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: &x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ - 4 x {}^{3} + 19x {}^{2} + 10x - 24 \end{array}$

Segundo ciclo:

Para resolver os ciclos daqui pra frente, você deve seguir o mesmo padrão do ciclo anterior.

1) Divisão do primeiro número do Divisor com o primeiro número do dividendo:

$\frac{ - 4x {}^{3} }{x {}^{2} } = \frac{ - 4}{1} . \frac{x {}^{3} }{x {}^{2} } = - 4x {}^{3 - 2} = \boxed{- 4x }$

2) Substituição no quociente:

$\begin{array}{r|c} \cancel{x^{4}}-10x^{3} +24x^{2}+10x-24 & x^{2}-6x+5 \\ \cancel{- x {}^{4}} + 6x {}^{3} - 5x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ &x {}^{2} - 4x \: \: \: \: \: \: \: \\ - 4 x {}^{3} + 19x {}^{2} + 10x - 2 4 \end{array}$

3) Multiplicação do quociente com o dividendo:

$( - 4x).(x {}^{2} - 6x + 5) \\ - 4x.x {}^{2} - 4x. - 6x - 4x.5 \\ \boxed{ - 4 {x}^{3} + 24x {}^{2} - 20x}$

4) Passando o resultado para o outro lado da divisão com os sinais trocados:

$\begin{array}{r|c} \cancel{x^{4}}-10x^{3} +24x^{2}+10x-24 & x^{2}-6x+5 \\ \cancel{- x {}^{4}} + 6x {}^{3} - 5x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ &x {}^{2} - 4x \: \: \: \: \: \: \: \\ \cancel{ - 4 x {}^{3}} + 19x {}^{2} + 10x - 24 \\ \cancel{4x {}^{3}} - 24x {}^{2} + 20x \: \: \: \: \: \: \: \: \\ - 5x {}^{2} + 30x - 24\end{array}$

Terceiro ciclo:

1) Divisão do primeiro número do Divisor com o primeiro número do dividendo:

$\frac{ - 5x {}^{2} }{x {}^{2} } = \frac{ - 5}{1} . \frac{x {}^{2} }{x {}^{2} } = - 5.x {}^{2 - 0} = - 5.x {}^{0} = \boxed{- 5}$

2) Substituição no quociente:

$\begin{array}{r|c} \cancel{x^{4}}-10x^{3} +24x^{2}+10x-24 & x^{2}-6x+5 \\ \cancel{- x {}^{4}} + 6x {}^{3} - 5x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ &x {}^{2} - 4x - 5 \\ \cancel{ - 4 x {}^{3}} + 19x {}^{2} + 10x - 24 \\ \cancel{4x {}^{3}} - 24x {}^{2} + 20x \: \: \: \: \: \: \: \: \\ - 5x {}^{2} + 30x - 24\end{array}$

3) Multiplicação do quociente com o dividendo:

$- 5.(x {}^{2} - 6x + 5) \\ - 5.x {}^{2} - 5. - 6x - 5.5 \\ \boxed{ - 5x {}^{2} + 30x - 25}$

4) Passando o resultado para o outro lado da divisão com os sinais trocados:

$\begin{array}{r|c} \cancel{x^{4}}-10x^{3} +24x^{2}+10x-24 & x^{2}-6x+5 \\ \cancel{- x {}^{4}} + 6x {}^{3} - 5x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: &\underbrace{x {}^{2} - 4x - 5}_{quociente} \\ \cancel{ - 4 x {}^{3}} + 19x {}^{2} + 10x - 2 4 \\ \cancel{4x {}^{3}} - 24x {}^{2} + 20x \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \cancel{ - 5x {}^{2}} + \cancel{ 30x} - 24 \\ \cancel{ 5x {}^{2}} \cancel{- 30x }+ 25 \\ \underbrace{(1)}_{resto} \end{array}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

Resposta

Quociente= $x^2 - 4x - 5$

Resto = 1

DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Método da Chave

   x⁴ - 10x³ + 24x² + 10x - 24         |x² - 6x +5

+ x⁴ + 6x³  -  5x²                          x² - 4x - 5 ⇒ quociente

   0  - 4x³ + 19x² + 10x

      + 4x³ - 24x² + 20x

            0   - 5x²  +  30x - 24

                 + 5x²  - 30x  + 25  

                      0         0   + 1 ⇒ resto

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