Question

Efetuando a decomposição de fatores primos, verifique quais dos seguintes números são quadrados perfeitos.
a) 225 b) 360 c) 441 d) 480 e) 576 f) 784

Com 144 quadradinhos iguais Fernando pode construir um quadrado. Quantos quadradinhos há em cada linha desse novo quadrado?

Com quantos quadradinhos iguais posso construir um quadrado que tenha 8 quadradinhos em cada linha?

Answer 1

a) 225 = 3² .5² =√(3².5²)= 3 . 5 = 15 <-- quadrado perfeito

b) 360 = 2³.3².5= √(2³.3².5= 2.3√2.5= 6√10 <-- não é quadrado perfeito

c) 441 = 3².7² = √(3².7²)= 3.7 = 21 <--- sim

d) 576 = 2⁶ .3²= √(2⁶.3²) = 2³ .3 = 24 <-- sim 

e) 784 = 2⁴ .7² = √(2⁴.7²)= 2² . 7 = 28 <--- sim
___________________________________________ 

√144 = 12 quadradinhos em cada linha
_____________________________________

8² = 64 quadradinhos

Answer 2

Os seguintes números são quadrados perfeitos: 225, 441, 576 e 784.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Ao fatorar um quadrado perfeito, encontraremos fatores primos com os mesmos expoentes;

Com essas informações, fatorando os números, temos:

225 = 5².3² = (5.3)² = 15² (quadrado perfeito)

360 = 2³.3².5 (não é quadrado perfeito)

441 = 3².7² = (3.7)² = 21² (quadrado perfeito)

480 = 2⁵.3.5 (não é quadrado perfeito)

576 = 2⁶.3² = 8².3² = (8.3)² = 24² (quadrado perfeito)

784 = 2⁴.7² = 4².7² = (4.7)² = 28² (quadrado perfeito)

O número de quadradinhos em cada linha desse novo quadrado será 12.

Sabendo que 144 quadradinhos forma um quadrado maior, então podemos concluir que o número 144 é um quadrado perfeito. Da mesma forma que fizemos anteriormente, podemos fatorá-lo e obter a medida do lado desse quadrado:

144 | 2

72 | 2

36 | 2

18 | 2

9 | 3

3 | 3

1 | 144 = 2².2².3²

Logo, podemos dizer que 144 é dado por 4².3², então:

144 = 4².3² = (4.3)² = 12²

A medida do lado desse quadrado terá um total de 12 quadradinhos menores.

É possível construir um quadrado que tenha 8 quadradinhos em cada linha com 64 quadradinhos.

Agora, temos a operação inversa do exercício anterior. Antes, tínhamos o total de quadradinhos que formariam o quadrado maior e queríamos saber a medida do seu lado, agora, temos a medida do lado e precisamos calcular a quantidade de quadradinhos a serem usados.

Se antes calculamos a raiz quadrada, agora devemos calcular o quadrado do número 8, que é obtido multiplicando ele por ele mesmo:

8² = 8.8 = 64 quadradinhos

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