Question

(EEAR) Se x é um arco do 1º quadrante, com sen x = a e cos x = b, então $y = \frac{sen x . cos x}{tgx . cos(\pi + x)}$ é

a) a

b) b

c) –a

d) –b

Answer 1

$\displaystyle \sf \underline{\text{Temos }}: \\\\\ sen(x) = a \ \ ; \ \ cos(x) = b \\\\ tg(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)} \to tg(x) = \frac{a}{b} \\\\\\ cos(\pi + x) =-cos(x) \\\\\ \underline{Da{\'i}}}: \\\\ y=\frac{sen(x)\cdot cos(x) }{tg(x)\cdot cos(\pi+x) }\\\\\\ y = \frac{a\cdot b}{\displaystyle \frac{a}{b}\cdot (-b) } \\\\\\ y = \frac{a\cdot b\cdot b}{-a\cdot b } \\\\\\ \huge\boxed{\sf \ y = -b\ }\checkmark$

letra d

Answer 2

y é igual a -b. (Letra D).

Essa questão a primeira vista parece ser resolvida apenas com uma substituição de termos. Porém é necessário recordar alguns conceitos para resolve-la. Vamos lá ?

O primeiro passo é entender o que seria esse cos (π + x). Esse angulo que estamos tratando é um ANGULO SIMÉTRICO.

Angulos Simétricos

• O que são ?

São angulos diferentes que possuem o mesmo valor de arco. Por conta da simetria da circunferencia é possível encontrar angulos equivalentes de um angulo de 1º Quadrante em todos os outros quadrantes do círculo trigonométrico.

• Encontrando o seu Quadrante :

Como o angulo x está no primeiro quadrante e o angulo (π + x) é o resultado da soma desse angulo com mais meia-volta (180º) no círculo trigonométrico nós iremos parar no terceiro quadrante.

Para ficar mais fácil imaginar isso voce pode atribuir um valor ao angulo x. Exemplo :

Se x = 30º

Então o angulo (π + x) → (180º + 30º) = 210º (Como o 3º Quadrante vai do 180º ao 270º então esse angulo está nesse quadrante).

• Encontrando o seu Sinal :

Como nós não estamos trabalhando somente com o angulo (π + x) mas sim com o seu cosseno é necessário nos atentarmos ao sinal dessa função no 3º Quadrante.

                            3º Quadrante → COSSENO NEGATIVO

Como o angulo x e o angulo (π + x) são simétricos os seus cossenos tem o mesmo valor porém sinais opostos devido ao quadrante em que se encontram. Logo :

                                         $\boxed {cos(\pi +x) = - cos(x)}$

Entendido isso agora eu preciso que voce se lembre um pouco sobre as representações da função tangente.

A tangente além de ser representada como :

$tg = \frac {cat.op}{cat.adj}$ , também pode ser escrita da seguinte forma :

                                             $\boxed {tgx = \frac {senx}{cosx}}$

E será em cima dessa definição que iremos trabalhar. Agora sim é só fazermos as devidas substituições na expressão dada pela questão.

$y = \frac {senx.cosx}{tgx.cos(\pi +x)}$

• Obs : Eu não irei substituir as funções pelos seus valores logo de cara porque isso poderá dificultar a nossa visualização do problema.

$y = \frac {senx.cosx}{tgx.cos(\pi +x)}$ → $y = \frac {senx.cosx}{\frac{senx}{cosx}.-cosx}$ → $y = \frac {senx.cosx}{senx.(-1)}$ → $y = \frac {cosx}{-1}$ ∴ $= -\frac {cosx}{1}$

                                   $y = - \frac {cos x}{1} = -cosx$

Feita a conta eu vou explicar alguns passos que talvez devam ter deixado alguma dúvida.

1. Após a substituição da tangente no passo 2 como a gente tinha no denominador o cos(x) dividindo e multiplicando eu cortei os dois. Porém como um deles era -cos(x) ficou sobrando aquele -1 para multiplicar o sen(x).
2. No passo 3 ocorre a mesma coisa de podermos cortar o sen(x) em cima que multiplicava com o sen(x) embaixo que dividia e do mesmo jeito sobrou o -1 no denominador.
3. No passo 4 eu apenas fiz uma troca equivalente já que dividir por -1 é o mesmo que dividir por 1 e jogar o sinal de menos no resultado.

Como y = -cosx e cosx = b então :

                  $\boxed {y = -b}$