Question

(EEAR) Se θ é um ângulo tal que 0 > θ > π/2 e o dobro do seu seno é igual ao triplo do quadrado da sua tangente, então o valor do seu cosseno é: a) $\sqrt{3} / 3$ b) $\sqrt{3} /2$ c) $\sqrt{2} /2$ d) 2/3

Answer 1

Vamos relembrar algumas relações da trigonometria.

1)Tangente

$\fbox{\displaystyle Tg(x) = \frac{Sen(x) }{Cos(x)} }$

2) Relação fundamental da trigonometria

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1 }$

Sabendo disso, vamos para a questão.

A questão nos pede o cosseno e fala que o dobro do seno é igual ao triplo do quadrada da tangente de um ângulo, ou seja :

$\fbox{\displaystyle 2.Sen(x) = 3.Tg^2(x) }$

A questão diz que o intervalo do ângulo :

$( 0< \theta < \frac{\pi}{2} )$ ( 1ºquadrante )  

vamos abrir a tangente

$\fbox{\displaystyle 2.Sen(x) = 3.Tg^2(x) \to 2.Sen(x) = \frac{3.Sen^2(x)}{Cos^2(x)} }$

sabendo que :

$sen^2(x) + cos^2(x) = 1$

podemos isolar o $cos^2(x)$. assim :

 $cos^2(x) = 1-Sen^2(x)$

vamos substituir dessa forma.

$\fbox{\displaystyle 2.Sen(x) = \frac{3.Sen^2(x)}{1-sen^2(x)} }$

podemos simplificar o sen(x) da esquerda com o sen²(x) da direita e sem seguida multiplicar cruzado

$\fbox{\displaystyle 2.Sen(x) = \frac{3.Sen^2(x)}{1-sen^2(x)} \to 2(1-sen^2(x)) = 3Sen(x) \to 2 - 2sen^2(x) = 3Sen(x) }$passando todos os membros para o lado direito da igualdade

$\fbox{\displaystyle 2Sen^2(x) + 3Sen(x) - 2 =0 }$

temos essa equação do 2ºgrau. Vamos resolver usando bhaskara$\fbox{\displaystyle Sen(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4.2.(-2)}}{2.2} \to Sen(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} \to Sen(x) = \frac{-3 \pm 5}{ 4 } }$Então :

$\fbox{\displaystyle Sen(x) = \frac{-3+5}{4} \to Sen(x) = \frac{2}{4} \to Sen(x) = \frac{1}{2} }$

ou

$\fbox{\displaystyle Sen(x) = \frac{-3-5}{4} \to Sen(x) = \frac{-8}{4} \to Sen(x) = -2 }$

Repare que $sen(x) = -2$ não convém já que a função seno está limitada no intervalo de [ -1, 1 ]. Então usaremos :

$\displaystyle sen(x) = \frac{1}{2}$

Vamos achar o cosseno usando a relação fundamental da trigonometria.

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1 }$

substituindo o valor do seno e isolando o cosseno

$\fbox{\displaystyle (\frac{1}{2})^2+ Cos^2(x) = 1 \to Cos^2(x) = 1 - \frac{1}{4} \to Cos^2(x) = \frac{3}{4} }$

tirando a raiz quadrada dos dois lados

$\fbox{\displaystyle Cos(x) = \sqrt{\frac{3}{4}} \to Cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} }$

letra B