Question

Eear 2002 num triangulo abc tem-se ab = 2cm, bac = 30° e acb = 45. A area do triangulo abc é.

Answer 1

A área do triângulo ABC é igual a (1 + √3)/2 cm²

Lei dos Senos

A partir da medida de dois ângulos de um triângulo e um de seus lados, é possível determinar a medida do outro lado a partir da relação:

$\boxed{ \dfrac{x}{sen \: \alpha} = \dfrac{y}{sen \: \beta} =\dfrac{z}{sen \: \gamma} = 2R}$

Em que:

• α é o ângulo oposto do lado x;

• β é o ângulo oposto do lado y;

• γ é o ângulo oposto do lado z;

Sabendo que:

• AB  = 2 cm;
• Ângulo BAC = 30º
• Ângulo ACB = 45º

O comprimento BC do triângulo será igual a:

$\dfrac{AB}{sen \: (\hat{ACB})} = \dfrac{BC}{sen \: (\hat{BAC})} \\\\\\ \dfrac{AB}{sen \: (45^{o})} = \dfrac{BC}{sen \: (30^{o})} \\\\\\ \dfrac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{BC}{\frac{1}{2}} \\\\\\\dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2BC \\\\\\BC = \dfrac{2}{\sqrt{2}} \\\\\\BC = \sqrt{2}$

A área do triângulo ABC pode ser calculada pela fórmula:

A = (1/2) ⋅ x ⋅ y ⋅ sen(α)

Em que:

• x e y são os comprimentos de dois lados do triângulo;
• α é o ângulo entre os lados x e y.

O ângulo B do triângulo pode ser calculada pela soma dos ângulos internos de um triângulo:

α + 45º + 30º = 180º

α = 105º

O seno de 105º é equivalente ao seno de 75º e pode ser calculado pela soma de arcos:

sen(75º) =

sen (45º + 30º) =

sen(45º) × cos(30º) + cos(45º) × sen(30º)

(√2/2) × (√3/2) + (√2/2) × (1/2)

(√6 + √2)/4

Assim, substituindo os valores na fórmula:

A = (1/2) ⋅ x ⋅ y ⋅ sen(α) )

A = (1/2) ⋅ AB ⋅ BC ⋅ sen(105º)

A = (1/2) ⋅ 2 ⋅ (√2) ⋅ ( (√2 + √6))/6 )

A = (1 + √3)/2 cm²

Para saber mais sobre Lei dos Senos, acesse: brainly.com.br/tarefa/5791915

Espero ter ajudado, até a próxima :)

#SPJ11