Edineia levou seu carro ao funileiro, que lhe apresentou um orçamento de R$ 2.500,00 à vista ou três parcelas iguais, vencendo a cada 30 dias, sob a taxa de 19,2% a.a. em regime de juros compostos, com uma entrada igual ao dobro do valor de uma parcela. Edineia aceitou a segunda opção. Calcule o valor das parcelas e da entrada.
Soluções para a tarefa
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34
Vamos lá.
Veja, Jrrocha, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Vamos chamar os valores de cada parcela de "x". Como são três parcelas iguais, então teremos uma parcela "x" vencendo dentro de 1 mês, outra parcela "x" vencendo dentro de 2 meses e finalmente outra parcela "x" vencendo dentro de 3 meses.
E, como a entrada é igual ao dobro de uma das parcelas, então a entrada será no valor de "2x".
ii) Agora vamos fazer o seguinte: vamos trazer cada parcela "x" para o valor presente, considerando a taxa de juros mensal de "1,6%" ao mês, pois se a taxa anual é de "19,2%", então a taxa mensal será de "1,6%" (ou 0,016 ao mês), pois basta que se divida 19,2%/12 = 1,6% ao mês (ou 0,016 ao mês).
Assim, traremos as três parcelas para o valor presente pelo fator (1+0,016)¹ para o 1º mês; (1+0,016)² para o 2º mês, e finalmente, (1+0,016)³ para o 3º mês.
E os valores assim trazidos para o valor presente deverão ser igualados ao valor à vista (R$ 2.500,00) menos a entrada (2x).
Assim, teremos:
2.500 - 2x = x/(1+0,016)) + x/(1+0,016)² + x/(1+0,016)³ ---- desenvolvendo:
2.500 - 2x = x/(1,016) + x/(1,016)² + x/(1,016)³
2.500 - 2x = x/(1,016) + x/(1,032256) + x/(1,048772096)
Note que o mmc = 1,048772096. Assim, utilizando-o no 2º membro, teremos {lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):
2.500 - 2x = [1,032256*x + 1,016*x + 1*x]/1,048772096
2.500 - 2x = [1,032256x + 1,016x + 1x]/1,048772096 --- reduzindo os termos semelhantes no numerador do 2º membro, teremos:
2.500 - 2x = [3,048256x]/1,048772096 ----- multiplicando em cruz, teremos:
1,048772096*(2.500 - 2x) = 3,048256x --- efetuando o produto indicado no 1º membro, ficaremos com:
2.621,93 - 2,097544192x = 3,048256x ---- passando "-2,097544192x" para o 2º membro, ficamos com:
2.621,93 = 3,048256x + 2,097544192x--- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, ficaremos com:
2.621,93 = 5,145800192x ---- vamos apenas inverter, ficando:
5,145800192x = 2.621,93 ---- isolando "x", teremos:
x = 2.621,93/5,145800192 --- veja que esta divisão dá "509,53" (bem aproximado). Assim:
x = 509,53 <--- Este é o valor de cada uma das 3 parcelas "x"
E como a entrada é o dobro de uma das parcelas, então a entrada será:
2*509,53 = 1.019,06 <--- Este será o valor da entrada.
iii) Assim, resumindo, teremos que o valor de cada parcela e o valor da entrada serão, respectivamente:
R$ 509,53 e R$ 1.019,06 <--- Esta é a resposta.
Pronto. A resposta é a que demos aí em cima, após havermos editado a nossa resposta, o que agradeço ao meu amigo Manuel que me deu o alerta de que eu havia usado a taxa anual e não a taxa mensal. Mas agora está tudo ok.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Jrrocha, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Vamos chamar os valores de cada parcela de "x". Como são três parcelas iguais, então teremos uma parcela "x" vencendo dentro de 1 mês, outra parcela "x" vencendo dentro de 2 meses e finalmente outra parcela "x" vencendo dentro de 3 meses.
E, como a entrada é igual ao dobro de uma das parcelas, então a entrada será no valor de "2x".
ii) Agora vamos fazer o seguinte: vamos trazer cada parcela "x" para o valor presente, considerando a taxa de juros mensal de "1,6%" ao mês, pois se a taxa anual é de "19,2%", então a taxa mensal será de "1,6%" (ou 0,016 ao mês), pois basta que se divida 19,2%/12 = 1,6% ao mês (ou 0,016 ao mês).
Assim, traremos as três parcelas para o valor presente pelo fator (1+0,016)¹ para o 1º mês; (1+0,016)² para o 2º mês, e finalmente, (1+0,016)³ para o 3º mês.
E os valores assim trazidos para o valor presente deverão ser igualados ao valor à vista (R$ 2.500,00) menos a entrada (2x).
Assim, teremos:
2.500 - 2x = x/(1+0,016)) + x/(1+0,016)² + x/(1+0,016)³ ---- desenvolvendo:
2.500 - 2x = x/(1,016) + x/(1,016)² + x/(1,016)³
2.500 - 2x = x/(1,016) + x/(1,032256) + x/(1,048772096)
Note que o mmc = 1,048772096. Assim, utilizando-o no 2º membro, teremos {lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):
2.500 - 2x = [1,032256*x + 1,016*x + 1*x]/1,048772096
2.500 - 2x = [1,032256x + 1,016x + 1x]/1,048772096 --- reduzindo os termos semelhantes no numerador do 2º membro, teremos:
2.500 - 2x = [3,048256x]/1,048772096 ----- multiplicando em cruz, teremos:
1,048772096*(2.500 - 2x) = 3,048256x --- efetuando o produto indicado no 1º membro, ficaremos com:
2.621,93 - 2,097544192x = 3,048256x ---- passando "-2,097544192x" para o 2º membro, ficamos com:
2.621,93 = 3,048256x + 2,097544192x--- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, ficaremos com:
2.621,93 = 5,145800192x ---- vamos apenas inverter, ficando:
5,145800192x = 2.621,93 ---- isolando "x", teremos:
x = 2.621,93/5,145800192 --- veja que esta divisão dá "509,53" (bem aproximado). Assim:
x = 509,53 <--- Este é o valor de cada uma das 3 parcelas "x"
E como a entrada é o dobro de uma das parcelas, então a entrada será:
2*509,53 = 1.019,06 <--- Este será o valor da entrada.
iii) Assim, resumindo, teremos que o valor de cada parcela e o valor da entrada serão, respectivamente:
R$ 509,53 e R$ 1.019,06 <--- Esta é a resposta.
Pronto. A resposta é a que demos aí em cima, após havermos editado a nossa resposta, o que agradeço ao meu amigo Manuel que me deu o alerta de que eu havia usado a taxa anual e não a taxa mensal. Mas agora está tudo ok.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
Ih, enganei-me na taxa de juros. O meu amigo Manuel me alertou que usei a taxa de juros de 19,2% é ao ano e não ao mês como eu utilizei. Por isso, vou editar a questão pra deixar a taxa mensal. Aguarde.
Agradecemos ao moderador Optimistic pela aprovação da nossa resposta. Um cordial abraço.
Respondido por
67
Resposta:
3 parcelas de R$ 508,76 e entrada de R$ 1.017,52.
Corrigido pelo AVA
Explicação passo-a-passo:
Transformação de 19.2% a.a em a.m em regimes de juros compostos
im = ¹²√(1 + ia) - 1
im = ¹²√(1 + 0.192) - 1
im = 0.0147
Entrada = 2p
(2500 - 2p)*(1.0147)^3 = p*((1.0147)^3 - 1)/0.0147
(2500 - 2p)*1.045 = p*3.044
2500*1.045 - 2.090p = 3.044p
3.044p + 2.090p = 2612.5
5.134 p = 2612.5
parcela p = 2612.5/5.134 = 508.85 entrada e = 2p = 1017,52
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