Question

∫e^x cos x/2dx


Resposta oferecida pelo livro esta na imagem.

Answer 1

Vamos fazer u = Cos(x/2)  e Dv = e^(x)

u = cos(x/2)

du = -sen(x/2)*(1/2)dx

du = -(1/2)*Sen(x/2)

dv = e^(x)

∫dv = ∫e^(x)dx

v = e^(x)

Substiruindo teremos:

∫e^(x)Cos(x/2)dx = u*v -∫vdu

∫e^(x)*Cos(x/2)dx = e^(x)*Cos(x/2) - ∫e^(x)*-(1/2)*Sen(x/2)dx

∫e^(x)*cos(x/2)dx = e^(x)Cos(x/2) + 1/2∫e^(x)*sen(x/2)dx

Vamos resolver separadamente a integral que falta para substituirmos:

∫e^(x)*Sen(x/2)dx = ?

∫e^(x)*sen(x/2)dx


Fazendo e^(x) = dT e sen(x/2) = w  ficamos:

W = Sen(x/2)

dw = Cos(x/2)*1/2dx

dw = (1/2)*Cos(x/2)

dT  = e^(x)

∫dt = ∫e^(x)dx

T  = e^(x)

Portanto temos que:

∫e^(x)sen(x/2)dx = w*t - ∫ t*dw

∫e^(x)*sen(x/2)dx = e^(x)*sen(x/2) - ∫e^(x)*(1/2)*Cos(x/2)dx

∫e^(x)*sen(x/2)dx = e^(x)*sen(x/2) -1/2*∫e^(x)*Cos(x/2)dx

Lembrando que tinhamos 1/2 multiplicando essa integral:

1/2∫e^(x)*sen(x/2)dx = 1/2*[e^(x)*sen(x/2) - 1/2∫e^(x)*Cos(x/2)dx]

Aplicando distributiva:

1/2∫e^(x)*sen(x/2)dx = 1/2*e^(x)*Sen(x/2) -1/2*1/2*∫e^(x)*cos(x/2)dx

1/2*∫e^(x)*sen(x/2)dx = 1/2*e^(x)*sen(x/2) - 1/4*∫e^(x)*Cos(x/2)dx


entao vamos substituir esse resultado na expressão inicial:

∫e^(x)*Cos(x/2)dx = e^(x)*Cos(x/2) +[1/2*∫e^(x)sen(x/2)dx ]   ←


Ficamos:
↓

∫e^(x)Cos(x/2)dx = e^(x)*Cos(x/2) + [ 1/2*e^(x)*sen(x/2) -

1/4*∫e^(x)*cos(x/2)dx ]

Tirando os parenteses fica:

↓

∫e^(x)*Cos(x/2)dx = e^(x)*Cos(x/2) + 1/2*e^(x)*Sen(x/2) -

1/4*∫e^(x)*Cos(x/2)dx

Vamos passar a ultima integral por lado esquerdo da equação:

∫e^(x)*Cos(x/2)dx + 1/4*∫e^(x)*Cos(x/2)dx = e^(x)*Cos(x/2) +

1/2*e^(x)*Sen(x/2)


↓ 


Tirando mmc na integral:

$\\ 1+ \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \\ \\ 1+ \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Ficamos com:

5/4*∫e^(x)*Cos(x/2)dx = e^(x)Cos(x/2) + 1/2*e^(x)*sen(x/2)

Colocando e^(x) em evidencia:

5/4∫e^(x)*cos(x/2)dx = e^(x)[ Cos(x/2) + 1/2*Sen(x/2) ]

Passa dividindo 5/4:

∫e^(x)*Cos(x/2)dx = $\frac{e^x[ Cos(x/2) + \frac{1}{2} Sen(x/2)]}{ \frac{5}{4} }$

↓

∫e^(x)*Cos(x/2)dx = $4\frac{e^x[cos(x/2) + \frac{1}{2}sen(x/2) ]}{5}$

∫e^(x)Cos(x/2)dx = $2*2 \frac{e^x[Cos(x/2) + \frac{1}{2} Sen(x/2)]}{5}$
Como o sen(x/2) tem 1/2 multiplicando ele, vamos passar um dos "2" que esta do lado de fora multiplicando pra dentro ok?

∫e^(x)Cos(x/2)dx = $\frac{2}{5} *[ 2*Cos(x/2) + 2* \frac{1}{2} sen(x/2)]$



Cortando o 2:

∫e^(x)Cos(x/2)dx = $\frac{2}{5} [ 2cos(x/2) + sen(x/2) ] + K$

Answer 2

A resposta segue anexa

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12/03/2016
Sepauto - SSRC
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