Question

e^x +4e^-x -5=0
Como resolvo esta equação?

Answer 1

Olá!

$\\ \mathrm{e^x + 4 \cdot e^{- x} - 5 = 0} \\\\ \mathrm{e^x + 4 \cdot \frac{1}{e^x} - 5 = 0}$

 Considere $\mathbf{e^x = k}$. Daí, segue que:

$\\ \mathrm{k + 4 \cdot \frac{1}{k} - 5 = 0} \\\\ \mathrm{k^2 + 4 \cdot 1 - 5k = 0} \\\\ \mathrm{k^2 - 5k + 4 = 0} \\\\ \mathrm{(k - 4)(k - 1) = 0}$

 Voltemos à variável "x",

$\\ \mathrm{(k - 4)(k - 1) = 0} \\\\ \mathrm{\left ( e^x - 4 \right )\left ( e^x - 1 \right ) = 0} \\\\ \begin{cases} \mathrm{e^x - 4 = 0 \Rightarrow e^x = 4 \Rightarrow \log_e 4 = x \Rightarrow \boxed{\mathbf{x = \ln 4}}} \\\\ \mathrm{e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow \log_e 1 = x \Rightarrow x = \ln 1 \Rightarrow \boxed{\mathbf{x = 0}}}\end{cases}$ 

Answer 2

E^x +4e^-x -5=0

São 3 parcelas separadas: e^x, 4e^-x, -5 
e× + 4e-× - 5 = 0          (4.e-x   4/e+×  = 4/e×)
           
           4  
e× + ------- - 5 = 0     ( SUBSTITUI  (e× = y)
          e×
  
          4
y  + ------- - 5 = 0   ( SOMA com  fração az mmc = y)
          y

y(y) + 1(4) - y(5) = y(0)
-------------------------------  fração com (=) igualdade despreza
            y                         o denominador

y(y) + 1(4) - y(5) = y(0)
 y²   + 4 - 5y = 0   arruma a casa
y² - 5y + 4 = 0    ( equação do 2º grau)
a = 1
b = - 5
c = 4
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4(1)(4)
Δ = + 25 - 16
Δ = + 9 -----------------------> √Δ = 3  ( porque √9 = 3)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes distintas)

(baskara)
         - b + - √Δ
y = ------------------
             2a

y' = - (-5) - √9/2(1)
y' = + 5 -  3/2
y' = + 2/2
y' = 1
e
y" = - (-5) + √9/2(1)
y" = + 5 + 3/2
y" = + 8/2
y" = 4

assim
y' = 1
y" = 4

VOLTANDO  na SUBSTITUIÇÃO
e× = y
y' = 1
e× = 1             (1 = eº)
e× = eº

x = 0

e
y" = 4
e× = 4

log(e)4 = x
x = lin(4)