Question

É URGENTE!! COM EXPLICAÇÃO POR FAVORZINHO :)
Considere senhas de 4 caracteres formadas com os símbolos A, B, C, D, E, F, G. Responda: a. Quantas dessas senhas são possíveis se a repetição não é permitida? b. Quantas senhas existem se a repetição não for permitida e a senha tiver um E?

Answer 1

Resposta:

Esse é um caso clássico de arranjo simples

Letra a

temos sete possibilidades (sem repeticao) para quatro espacos possíveis.

$A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!}$

onde n é o número total de elementos (A,B,C,D,E,F,G) e p é o número de elementos do conjunto.

$A_{7,4}=\frac{7!}{(7-4)!}$

$A_{7,4}=\frac{7!}{3!}\\\\A_{7,4}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{3.2.1}$

Simplificando (cortando denominadores e divisores)

$A_{7,4}=7.6.5.4=840$ possibilidades

Essa seria a conta. Pensando de uma maneira mais pratica:

Pense numa palavra de 4 letras formadas por essas letras

Letra 1 - Letra 2- Letra 3- Letra 4

Para a primeira letra da palavra, podemos usar qualquer uma das letras.

Como temos ABCDEFG para usar, (7 letras possiveis), temos 7 possibilidades para a primeira.

7 possibilidades - Letra 2 -Letra 3 - Letra 4

Como nao podemos usar a primeira letra de novo, agora temos todas as letras, menos a primeira, para usar, ou seja 6. E assim por diante, até completar a senha.

7 possibilidades - 6 poss. - 5 possib. - 4 possib.

Ai apenas multiplica no final.

Mas é bom fazer a conta do arranjo, a sua professora vai cobrar.

Letra B

Segue a lógica, mas agora é diferente.

A letra E precisa estar na palavra. Mas não sabemos em que local. Precisamos considerar esses casos

1) A letra E é a primeira

E - Letra 2 - Letra 3- Letra 4.

Agora temos que calcular um arranjo com 6 possibilidades de letra (ABCDFG), para 3 elementos da palavra.

$A_{6,3}=\frac{6!}{(6-3)!}\\\\A_{6,3}=\frac{6.5.4.3.2.1}{(3.2.1)!}\\\\A_{6,3}=6.5.4=120$

2, 3 e 4 casos

2)Letra 1 - E - letra 3 - letra 4

3)Letra 1 - letra 2 - E- letra 4

4)letra 1- letra 2 - letra 3 - E

Ou seja, repete-se a situação da que acabamos de fazer. Para considerar esses casos, basta multiplicar o arranjo (6,3) por 4, já que são semelhantes, apenas tivemos troca de posicao da letra E. Temos

$4. A_{6,3}= 120.4=480$

Ao todo, teremos 480 possibilidades de senha

Explicação passo a passo: