Question

É preciso formar uma equipe com dois engenheiros e dois técnicos. Para isso, tenho à disposição três engenheiros e cinco técnicos. Quantas formações são possíveis?

e) Mais que 45

a) 15

d) 45

c) 30

b) 25

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Answer 1

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⠀⠀☞ Através de uma análise combinatória encontramos 3 diferentes formações para os 2 engenheiros e 10 diferentes formações para os 5 técnicos, o que resulta em um total de c) 30 diferentes formações possíveis. ✅

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• O Princípio Fundamental da Contagem nos diz que se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número total de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada etapa.

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⠀⠀Vamos analisar os dois sub-grupos, começando pelos engenheiros. Para preencher as duas vagas de engenheiro (E) temos a seguinte combinação de possibilidades:

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3 × 2 = 6

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⠀⠀Porém temos que o número real de combinações está dobrado (pois Ei & Ej = Ej & Ei), ou seja, temos na verdade:

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6 ÷ 2 = 3

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⠀⠀Para este tipo de combinação (em que não usamos todas as opções e também excluímos as permutações que resultam em grupos iguais) podemos utilizar a seguinte expressão:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf C_n^p = \left(\begin{array}{c}\sf n\\\sf p\end{array}\right) = \dfrac{n!}{(n - p)! \cdot p!}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf n }}$ sendo o total de possibilidades;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf p }}$ sendo o total de vagas a serem preenchidas;

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onde:

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• a divisão por (n - p)! exclui as permutações não utilizadas devido a n > p;
• a divisão por p! exclui as permutações que resultam em combinações repetidas (ou seja, a ordem interna do grupo não importa).

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⠀⠀Para preencher as duas vagas de técnico (T) teremos então:

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$\LARGE\blue{\sf C_5^2 = \dfrac{5!}{(5 - 2)! \cdot 2!}}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot \diagup\!\!\!\!{3}!}{\diagup\!\!\!\!{3}! \cdot 2 \cdot 1} }}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{20}{2} = 10}$

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⠀⠀Por fim, o total de formações possíveis dos dois sub-grupos juntos é de 10 * 3 = 30. ✌

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{c)}~\blue{30}~~~}}$ ✅  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$