Question

É possıvel termos ||u+v|| = ||u−v|| para vetores u e v nao nulos? Justifique sua resposta ou mostre um exemplo.​

Answer 1

Resposta:

Sim desde que os vetores sejam ortogonais.

Explicação passo-a-passo:

u=(1,0)

v=(0,1)

u+v=(1,1)

||u+v||= 1^2+1^2=2

u-v= (1,-1)

||u+v||= (1)^2=(-1)^2 = 2

donde ||u+v||=||u-v|||

Enriquecento a resposta:

Seja u=(a,b) e v=(c,d)

u+v=(a+c,b+d) e u-v= (a-c,b-d)

||u+v||= a^2+b^2^+ c^2 + d^2 + 2ab + 2cd

||u-v|| = a^2+b^2^+ c^2 + d^2 - 2ab - 2cd

Como ||u+v|| = ||u-V||, temos:

a^2+b^2^+ c^2 + d^2 + 2ab + 2cd= a^2+b^2^+ c^2 + d^2 - 2ab - 2cd

2(ab+cd) = - 2 (ab+cd) logo ab+cd =0.

Mas ab+cd= u.v=0. Se o produto secalar é zero o ândulo entre os vetores deve ser 90 graus ou 270 graus.

Pois u.v=|u|.|v|.cos(teta). Como |u|<>0 e |v|<>0, pelo enunciado, temos que cos (teta) =0, logo teta = 90 ou 270 graus.