Question

É importante ressaltar que a equação vetorial da reta no R³ não é única. A equação vetorial no R³ da reta que passa pelo ponto P(xp, yp, zp) e tem a direção do vetor v é dada por (x, y, z) = (xp, yp, zp) + t. (xv, yv, zv). Com base nessas informações, determine a equação vetorial da reta no R³ que passe pelo ponto P (1, 2, 3) e tenha a direção do vetor v = (1, 2, 4).

Answer 1

A equação vetorial da reta no R³ que passa pelo ponto P(1,2,3) e tenha a direção do vetor v = (1,2,4) é (x,y,z) = (1 + t, 2 + 2t, 3 + 4t).

Para montarmos as equações paramétricas de uma reta no espaço, precisamos de um ponto pertencente a ela e de um vetor direção.

Além disso, precisamos de um parâmetro real.

De acordo com o enunciado, tal reta passa pelo ponto P = (1,2,3) e possui direção v = (1,2,4). Vamos considerar que t é o parâmetro.

Sendo assim, temos que as equações paramétricas da reta são:

{x = 1 + t

{y = 2 + 2t

{z = 3 + 4t, com t pertencente aos reais.

Podemos escrever essas equações paramétricas da seguinte maneira:

(x, y, z) = (1 + t, 2 + 2t, 3 + 4t), t ∈ IR.

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que uma das possíveis equações vetoriais da reta "r" no espaço tridimensional é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r:(x, y, z) = (1, 2, 3) + \lambda(1, 2, 4)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                        $\Large\begin{cases}P(1, 2, 3)\\\vec{v} = (1, 2, 4) \end{cases}$

Deduzindo a equação vetorial da reta temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \overrightarrow{PQ} = \lambda\vec{v}\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}Q - P = \lambda\vec{v} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered} Q = P + \lambda\vec{v},\:\:\:\lambda\in\mathbb{R}\:\:\:e\:\:\:\vec{v} \neq\vec{0}\end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "II", temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x, y, z) = (1, 2, 3) + \lambda(1, 2, 4)\end{gathered}$

Portanto, uma das possíveis equações vetoriais da reta "r" é:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} r:(x, y, z) = (1, 2, 3) + \lambda(1, 2, 4)\end{gathered}$

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Solução gráfica: