Question

É frequente, no cálculo de transformadas de Laplace, que uma função f(t) seja multiplicada por potências de t. Nestes casos, pode ser conveniente utilizar o teorema de Derivadas de uma transformada de Laplace (também conhecido como multiplicação por potências de t). Determine £{t²cos(kt)}, onde k é uma constante.

Answer 1

Seja
$\mathcal{L}:f(t)\mapsto F(s)$
e
$\displaystyle \mathcal{L}\left\{t^nf(t)\right\}=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}F(s)$
então:
$\displaystyle i)~~~\mathcal{L}\left\{t^2\cos(kt)\right\}=(-1)^2\frac{d^2}{ds^2}\mathcal{L}\left\{\cos(kt)\right\}\\\\\text{Pela tabela das transformadas de laplace encontramos a}\\\text{transformada do cosseno.}\\\\\mathcal{L}\left\{\cos(kt)\right\}=\frac{s}{s^2+k^2}\\\\\text{substituir a transformada do cosseno na primeira (i)}\\\\ii)~~~\mathcal{L}\left\{t^2\cos(kt)\right\}=\frac{d^2}{ds^2}\left(\frac{s}{s^2+k^2}\right)$
$\displaystyle iii)~~~\frac{d^2}{ds^2}\left(\frac{s}{s^2+k^2}\right)=\frac{d}{ds}\left(\frac{(s^2+k^2)-2s^2}{(s^2+k^2)^2}\right)\\\\iv)~~~\frac{d}{ds}\left(\frac{k^2-s^2}{(s^2+k^2)^2}\right)=\frac{-2s(s^2+k^2)^2-4s(s^2+k^2)(k^2-s^2)}{(s^2+k^2)^4}\\\\v)~~=\frac{-2s(s^2+k^2)(2(k^2-s^2)+(s^2+k^2))}{(s^2+k^2)^4}\\\\vi)~=-\frac{2s(2(k^2-s^2)+(s^2+k^2)}{(s^2+k^2)^3}=-\frac{2s(3k^2-s^2)}{(s^2+k^2)^3}=\frac{2s^3-6sk^2}{(s^2+k^2)^3}$
Então:
$\boxed{\mathcal{L}\left\{t^2\cos(kt)\right\}=\frac{2s^3-6sk^2}{(s^2+k^2)^3}=\frac{2s(s^2-3k^2)}{(s^2+k^2)^3}}$

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Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

Resumo a resposta correta é:

4s(s²-k²)/(s²+4³)³

Explicação passo a passo: