É está também
5ª questão) O polinômio x3 + 6x2 + 12x + 8
a) tem uma raiz real com multiplicidade 3.
b) tem três raízes reais distintas entre si.
c) tem duas raízes complexas e não-reais.
d) tem exatamente uma raiz complexa e não-real.
e) não tem raízes reais
Soluções para a tarefa
Resposta: a) tem uma raiz real com multiplicidade 3.
Explicação passo a passo:
x³+ 6x² + 12x + 8 = 0
Você poderia usar o "Briot-Ruffinni" mas eu vou usar outro método. Aqui você vai encontrar que - 3 é uma raiz de multiplicidade 3.
Eu vou decompor esse polinômio e provar que ele é um cubo perfeito,
x³ + 3(2)x² + 3(2²)x + 2³ = 0
Repare que aqui você tem um produto notável do tipo,
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ onde a = x e b = 2
Então esse polinômio fatorado é (x+3)³ o que significa que - 3 é uma raiz de multiplicidade 3.
Resposta:
Alternativa correta: letra a) tem uma raíz real com multiplicidade 3.
Explicação passo a passo:
Resolução:
É possível resolver essa equação do terceiro grau com a fórmula dos produtos notáveis:
a^3+3a^2b+2ab+b^3 = (a+b)^3
E substituindo a e b pelos valores que temos a fórmula e escrevendo os produtos como fatores fica assim:
x
x^3+3×x^2×2+3×x×4+2^3
x^3+3×x^2×2+3×x×2^2+2^3
E o resultado usando a fórmula dá (x+2)^3, e (x+2)^3 = (x+3)×(x+3)×(x+3), tendo então multiplicidade 3.
(x+2)^3 = 0
x+2 = 0
x = 0-2
x = -2
Substituindo o x na fórmula por 2 e colocando o 0 no final da equação a igualdade será verdadeira:
(-2)^3+6×(-2)^2+12×(-2)+8 = 0 ✓
Eu espero ter ajudado :)