Question

∫(eᵃˣ+e⁻ᵃˣ)² dx

Resposta citada no livro: senh 2a x
---------------- +2x+C
a

Answer 1

$I=\displaystyle\int{(e^{ax}+e^{-ax})^{2}\,dx}\;\;\;\;\;\;(a\neq 0).$


$\bullet\;\;$ Por definição, temos

$\cosh(t)=\dfrac{1}{2}\,(e^{t}+e^{-t})\;\;\;\text{ e }\;\;\;\mathrm{senh}(t)=\dfrac{1}{2}\,(e^{t}-e^{-t})$


$\bullet\;\;$ Das definições acima, segue que

$\dfrac{d}{dt}[\cosh(t)]=\mathrm{senh}(t)\;\;\;\text{ e }\;\;\;\dfrac{d}{dt}[\mathrm{senh}(t)]=\cosh(t)$


$\bullet\;\;$ Avaliando o quadrado do cosseno hiperbólico de $t:$

$\cosh^{2}(t)=\dfrac{1}{4}\,(e^{t}+e^{-t})^{2}\\ \\ \\ \cosh^{2}(t)=\dfrac{1}{4}\,(e^{2t}+2\cdot e^{t}\cdot e^{-t}+e^{-2t})\\ \\ \\ \cosh^{2}(t)=\dfrac{1}{4}\,(e^{2t}+2+e^{-2t})\\ \\ \\ \cosh^{2}(t)=\dfrac{1}{4}\,(e^{2t}+e^{-2t})+\dfrac{2}{4}\\ \\ \\ \cosh^{2}(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \left[\dfrac{1}{2}\,(e^{2t}+e^{-2t})+1 \right ]\\ \\ \\ \cosh^{2}(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \left[\cosh(2t)+1 \right ]\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Voltando a integral dada inicialmente, podemos reescrevê-la assim:

$I=\displaystyle\int{(e^{ax}+e^{-ax})^{2}\,dx}\\ \\ \\ =4\cdot \int{\dfrac{1}{4}\,(e^{ax}+e^{-ax})^{2}\,dx}\\ \\ \\ =4\cdot \int{\left[\dfrac{1}{2}\,(e^{ax}+e^{-ax}) \right ]^{2}\,dx}\\ \\ \\ =4\cdot \int{\cosh^{2}(ax)\,dx}$


Utilizando a identidade $\mathbf{(i)},$ com $t=ax,$ temos

$I=4\cdot \displaystyle\int{\dfrac{1}{2}\cdot \left[\cosh(2ax)+1 \right ]\,dx}\\ \\ \\ =\dfrac{4}{2}\cdot \int[\cosh(2ax)+1]\,dx\\ \\ \\ =2\int\cosh(2ax)\,dx+2\int{1\,dx}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Na primeira integral, fazendo a substituição

$2ax=u\;\;\Rightarrow\;\;2a\,dx=du\;\;\Rightarrow\;\;dx=\dfrac{1}{2a}\,du$

temos que

$\displaystyle\int\cosh(2ax)\,dx\\ \\ \\ =\int{\cosh(u)\cdot \dfrac{1}{2a}\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\int{\cosh(u)\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\,\mathrm{senh}(u)+C_{1}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2a}\,\mathrm{senh}(2ax)+C_{1}$


Substituindo em $\mathbf{(ii)},$ temos que

$I=\diagup\!\!\!\! 2\cdot \left[\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2a}\,\mathrm{senh}(2ax) \right ]+2\displaystyle\int{1\,dx}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{a}\,\mathrm{senh}(2ax)+2x+C\\ \\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{c}\displaystyle\int{(e^{ax}+e^{-ax})^{2}\,dx}=\dfrac{1}{a}\,\mathrm{senh}(2ax)+2x+C \end{array} }$