Question

É dado um triângulo retângulo no qual a altura relativa á hipotenusa mede 24 cm. Sabendo que a soma das medidas dos dois catetos desse triângulo é 70cm,
determine o perímetro desse triângulo.

Ps: Resolução e EXPLICAÇÃO. Por isso, 30 pontos.

Answer 1

Sendo:
a = hipotenusa
b,c = catetos

Temos:
I) b + c = 70 (dado do problema)
II) b.c = 24.a  (fórmula das relações métricas do triângulo retângulo: a.h = b.c)
III) a² = b² + c² (teorema de Pitágoras)
IV) Perímetro do triângulo: P = a + b + c

No expressão I elevamos ambos os membros da igualdade ao quadrado:
(b + c)² = 70²
b² + 2.b.c + c² = 4900
(b² + c²) + 2.b.c = 4900

Pela expressão III, substituímos (b² + c²)  por a²:
a² + 2.b.c - 4900 = 0

Pela expressão II, substituímos 2.b.c por 2.24.a = 48.a
a² + 48.a - 4900 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:
Δ = 48² - 4.1.(-4900) = 2304 + 19600 = 21904
a' = (-48 + 148 )/2 = 100/2 = 50
a'' = (-48 - 148)/2 = -196/2 = -98 (não serve porque é negativo).

Pela expressão IV, temos:

P = a + b + c => P = 50 + 70 = 120 cm