Question

É dado um triângulo retângulo no qual a altura relativa à hipotenusa mede 24cm. Sabendo que a soma das medidas dos dois catetos desse triângulo é 70cm, determine o perímetro desse triângulo (a) 100cm (b) 110cm (c) 120cm (d) 150cm (e) 200cm

Answer 1

Vamos utilizar duas relações importantes para resolver esse problema: 1) Pitágoras, já que o triângulo é retângulo; 2) A relação métrica a.h = bc. Suponha que os catetos do triângulo retângulo sejam b e c e que a hipotenusa seja a, de acordo com a imagem em anexo. então por Pitágoras vale a² = b² + c². Temos que b + c = 70 e, que (b + c)² = 70², que desenvolvido fica b² + 2bc + c² = 4900, mas, b² + c² = a², então, a² + 2bc = 4900. Pela relação 2) temos que bc = ah, logo, a² + 2ah = 4900. Como h = 24, assim, a² + 48a - 4900 = 0, onde

Δ = 48² - 4.1.(-4900)

Δ = 2304 + 19600

Δ = 21904

a = [-48 + ou - √21904]/2

a' = [-48 + 148]/2

a' = 100/2 = 50

a" = [-48 - 148]/2

a" = -196/2 = -98 (não serve)

Logo, a = 50 cm

Temos que o perímetro do triângulo é dado pela soma das suas medidas, assim P = a + b + c = 50 + 70 → P = 120 cm.