É dado um triângulo retângulo no qual a altura relativa a hipotenusa mede 24cm. sabemos que a soma das medidas dos dois catetos desse triângulo é 70cm, determine o perímetro desse triângulo:
a) 100cm
b) 110cm
c) 120cm
d) 150cm
e) 200cm
Soluções para a tarefa
a + b = 70
h = 24
Utilizando as relações trigonométricas:
c² = a² + b²
c² = (a + b)² - 2ab
c² = (70)² - 2ab
c² = 70² - 2ab
c² - 70² = -2ab
ab = c² - 70² / -2
-----------------------------
c.h = a.b
24c = c² - 70² / -2
c² - 70² = -48c
Isolando c:
c² + 48c - 70² = 0
Bháskara:
Δ = (48)² - 4.1.(-70²)
Δ = 48² + 4.70²
Δ = 2304 + 19600
Δ = 21904
c = -48 +- √21904 / 2
c' = -48 - 148 / 2
c' = -196 / 2
c' = -98
c'' = -48 + 148 / 2
c'' = 100 / 2
c'' = 50
Portanto, a hipotenusa mede 50, já que não é admitido que tenha um valor negativo.
Assim, o perímetro é:
p = 70 + 50 = 120 cm
h = 24
b + c = 70 ****
bc = ah
bc = 24a ***
b² + c² = a²
ou
( b + c)² = ( 70 )²
[ (b)² + 2 * b * c + (c)² ] = 4900
b² + 2bc + c² = 4 900
( b² + c² ) + 2bc = 4900
substituindo b² + c² por a² e bc por 24a ***
a² + 2 ( 24a) = 4 900
a² + 48a - 4900 = 0
delta = ( 48)² - [ 4 * 1 * ( -4900)] = 2304 + 19600 =21904 ou V21904 = 148
a = ( - 48 + 148)/2
a1 = 100/2 = 50 ***
bc = 24a
bc = 24 * 50
bc = 1200 ****
b + c = 70 >>>> c = 70 - b *** substituindo em bc = 1200
b ( 70 - b ) = 1200
70b - b² - 1200 = 0 ( - 1)
b² - 70b + 1200 = 0
delta = (-70)² - [ 4 * 1 * 1200] = 4900 - 4800 = 100 ou +-V100 = +-10 ****
b1 = ( 70 + -10)/2 = 80/2 = 40 ***
b2 = 60/2 = 30 ***
b + c = 70
40 + c = 70
c1 = 70 - 40 = 30 ***
ou
30 + c = 70
c2 =70 - 3-0 = 40 ****
as medidas são
a = 50
b = 30 ou 40
c = 40 ou 30
P = 50 + 40 + 30
P = 120 *** resposta