Question

É dado um cone circular reto de altura 8 dm. Corta-se o mesmo por um plano paralelo à base, a uma distância de 3 dm do vértice. Inscreve-se no tronco de cone que resulta um tronco de pirâmide hexagonal, sabendo que o raio da base menor do tronco de cone é 1 dm, calcule o volume do tronco de pirâmide inscrito.

$\textsf{R:}$ $\mathsf{ \dfrac{485 \sqrt{3}}{18}~dm^{3}}$

Answer 1

                  P
                                         Seja ND = r = 1 seja  MB = R
            C   N   D               ΔPMB ≈ ΔPND ⇒ _PM_ = _R_  ⇒ R = _8_
                                                                        PN       ND                3
                                        

A              M            B
hexágono inscrito no círculo de r = 1
lado = 1   apótema = _1√3_   semi perímetro = 3
                                      2
área s ⇒ pa ⇒  _3√3_
                             2
hexágono inscrito no círculo de R = _8_
                                                           3
lado = _8_    apótema = _8_√3_ =  _4√3_    semi perímetro = 8
             3                          3   2            3
área S ⇒ pa ⇒  _32√3_
                              3
Volume do tronco de pirâmide ⇒ V =  _h_[S + √Ss + s]
                                                              3
V = _5_[ _32√3_ + √(_32√3_ . _3√3_ ) + _3√3_]
        3         3                 3            2               2
V =  _5_[ _32√3_ + √_32.3.3_ + _3√3_]
         3        3                   6              2
V =  _5_[ _32√3_ + _4√3_ + _3√3_]
          3        3              1             2
V = _5_[ _64√3 + 24√3 + 9√3_]
        3                     6
V = _5_[_97√3_]
        3        6
V =  _485√3_ dm³
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