Question

É dado três vetores u, v, w, os quais são LI. Qual a justificativa desses vetores estarem atrelados a um sistema de equações homogêneas cuja solução é somente a trivial?

Answer 1

Se 3 vetores u, v, w são vetores linearmente independentes, pela definição,

$\alpha_1 u+\alpha_2 v+ \alpha_3 w = 0_V\implies \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$

Se u, v e w são vetores de um espaço vetorial de dimensão n > 2, podemos reescrever a expressão acima como

$\alpha_1 \left[\begin{array}{c}u_1\\ \vdots \\ u_n\end{array}\right] + \alpha_2 \left[\begin{array}{c}v_1\\ \vdots \\ v_n\end{array}\right]+\alpha_3 \left[\begin{array}{c}w_1\\ \vdots \\ w_n\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0\end{array}\right]$

A expressão acima ainda pode ser escrita na forma matricial

$\left[\begin{array}{ccc}u_1&v_1&w_1\\ \vdots&\vdots&\vdots \\ u_n&v_n&w_n\end{array}\right] \, \left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0\end{array}\right]$

Cuja solução é somente

$\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

Deste modo, vetores Linearmente independentes estão atrelados à um sistema de equações lineares homogêneas cuja solução única é a trivial.