Question

É dado SEN x= 3/5, com 0 < x < 90°. calcule: SEN ( x - 30°), COS ( 60° + x ) e TG ( x + 45°)

Answer 1

Aplicando o seno na Relação Fundamental da Trigonometria, temos:

${ \cos(x) }^{2} = 1 - { \sin(x) }^{2}$

${ \cos(x) }^{2} = 1 - \frac{9}{25}$

${ \cos(x) }^{2} = \frac{16}{25}$

$\cos(x) = \frac{4}{5}$

Pela fórmula do seno da soma temos

$\sin(x - 30) = \sin(x) \cos(30) - \sin(30) \cos(x)$

Aplicando o seno e o cosseno que encontramos temos

$\sin(x - 30) = \frac{3}{5} \times \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}$

$\sin(x - 30) = \frac{3 \sqrt{3} }{10} - \frac{4}{10}$

$\sin(x - 30) = \frac{3 \sqrt{3} - 4 }{10}$

Quanto ao cos(60 + x):

$\cos(60 + x) = - \sin(60) \sin(x) + \cos(60) \cos(x)$

$- \frac{ \sqrt{3} }{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}$

$- \frac{3 \sqrt{3} }{10} + \frac{4}{10}$

$\cos(60 + x) = \frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$

Sabendo senx e cosx é fácil encontrar a tgx. Assim:

$\tan(x) = \frac{ \frac{3}{5} }{ \frac{4}{5} }$

$\tan(x ) = \frac{3}{4}$

Quanto à tg(x + 45):

$\tan(x + 45) = \frac{ \tan(x) + \tan(45) }{1 - \tan(x) \tan(45) }$

$\tan(x + 45) = \frac{ \frac{3}{4} + 1 }{1 - \frac{3}{4} \times 1 }$

$\tan(x + 45) = \frac{ \frac{7}{4} }{ \frac{1}{4} }$

Logo, tgx = 7.

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\sin(x-30\°)=\dfrac{3\sqrt{3}}{10}-\dfrac{2}{5}~\left|~b)\cos(60\°+x)=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\sqrt{3}}{10}~\left|~c)\tan(x+45\°)=7}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para encontrarmos os valores de $\sin(x-30\°)$, $\cos(60\°+x)$ e $\tan(x+45\°)$, dado que $\sin(x)=\dfrac{3}{5}$ e $x\in\left]0,~90\°\right[$, devemos relembrar das fórmulas de soma de arcos.

Lembre-se que:

• $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$.
• $\sin(a\pm b)=\sin(a)\cdot\cos(b)\pm \sin(b)\cdot\cos(a)$.
• $\cos(a\pm b)=\cos(a)\cdot\cos(b)\mp \sin(a)\cdot\sin(b)$.
• $\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan(a)\pm \tan(b)}{1\mp\tan(a)\cdot\tan(b)}$.

Para encontrarmos os valores de $\cos(x)$, utilizamos a equação fundamental, substituindo o valor de $\sin(x)=\dfrac{3}{5}$:

$\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\cos^2(x)=1$

Calcule a potência

$\dfrac{9}{25}+\cos^2(x)=1$

Isole $\cos^2(x)$

$\cos^2(x)=1-\dfrac{9}{25}$

Some as frações

$\cos^2(x)=\dfrac{25-9}{25}\\\\\\ \cos^2(x)=\dfrac{16}{25}$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$\cos(x)=\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}$

Calculando a raiz, temos que

$\cos(x)=\pm \dfrac{4}{5}$

Como nos foi dito que o ângulo $x$ pertence ao 1º quadrante, admitimos a  solução

$\cos(x)=\dfrac{4}{5}~~\checkmark$

O valor da tangente pode ser encontrado utilizando a fórmula $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Teremos:

$\tan(x)=\dfrac{\left(\dfrac{3}{5}\right)}{\left(\dfrac{4}{5}\right)}$

Calcule a fração de fração

$\tan(x)=\dfrac{3}{4}$

Logo, analisemos cada uma separadamente:

a) $\sin(x-30\°)$

Aplique a fórmula da diferença de arcos para o seno

$\sin(x)\cdot\cos(30\°)-\sin(30\°)\cdot\cos(x)$

Substitua os valores de $\sin(x)$ e $\cos(x)$. Lembre-se que de acordo com a tabela de ângulos notáveis, $\sin(30\°)=\dfrac{1}{2}$ e $\cos(30\°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{5}$

Multiplique as frações

$\dfrac{3\sqrt{3}}{10}-\dfrac{2}{5}$

b) $\cos(60\°+x)$

Aplique a fórmula da soma de arcos

$\cos(60\°)\cdot\cos(x)-\sin(60\°)\cdot\sin(x)$

Substitua os valores, lembrando que $\sin(60\°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $\cos(60\º)=\dfrac{1}{2}$.

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{5}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{3}{5}$

Multiplique os valores

$\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\sqrt{3}}{10}$

c) $\tan(x+45\°)$

Aplique a fórmula da soma de arcos

$\dfrac{\tan(x)+\tan(45\º)}{1-\tan(x)\cdot\tan(45\°)}$

Substitua o valor de $\tan(x)$ e lembre-se que $\tan(45\°)=1$

$\dfrac{\dfrac{3}{4}+1}{1-\dfrac{3}{4}\cdot1}$

Multiplique os valores e some as frações

$\dfrac{\left(\dfrac{3+4}{4}\right)}{\left(\dfrac{4-3}{4}\right)}\\\\\\ \dfrac{\left(\dfrac{7}{4}\right)}{\left(\dfrac{1}{4}\right)}$Calcule a fração de frações

$7$

Estes são os valores que procurávamos.