Question

E dada a funcao horaria do muv de uma particula s=-24+10t-t2 determine: a) o espaço inicial a velocidade e a aceleracao da particula b) a posicao da particula no instante t=5s c) a funcao horaria da velocidade d) o instante que a particula passa pela origem dos espaços.

Answer 1

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A equação horária dos espaços no movimento uniformemente variado (MUV) é

$\mathsf{s=s_0+v_0 t+\dfrac{1}{2}\,at^2}$


e a equação horária da velocidade é

$\mathsf{v=v_0+at}$


onde

•  $\mathsf{s_0}$  é o espaço inicial;

•  $\mathsf{v_0}$  é a velocidade inicial;

•  $\mathsf{a}$  é a aceleração (constante).

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Para esta questão, a equação horária dos espaços é

$\mathsf{s=-24+10t-t^2}$


a)  Comparando os coeficientes desta equação com a forma padrão da equação horária dos espaços no MUV, tiramos que

•  o espaço inicial é  $\mathsf{s_0=-24~m;}$

•  a velocidade inicial da partícula é  $\mathsf{v_0=10~m/s;}$

•  a aceleração  $\mathsf{a}$  é obtida pela relação:

$\mathsf{\dfrac{1}{2}\,a=-1}\\\\\\ \mathsf{a=-1\cdot 2}\\\\ \mathsf{a=-2~m/s^2.}$


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b)  A posição da partícula no instante  $\mathsf{t=5~s:}$

$\mathsf{s\big|_{t=5}=-24+10\cdot 5-5^2}\\\\ \mathsf{s\big|_{t=5}=-24+50-25}\\\\ \mathsf{s\big|_{t=5}=1~m}\quad\longleftarrow\quad\textsf{posi\c{c}\~ao em }\mathsf{t=5~s.}$

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c)  Equação horária da velocidade:

$\mathsf{v=v_0+at}\\\\ \mathsf{v=10-2t}$

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d)  Para encontrar o instante em que a partícula passa pela origem das posições, basta resolver a equação

$\mathsf{s=0}\\\\ \mathsf{-24+10t-t^2=0}\\\\ \mathsf{-t^2+10t-24=0}\quad\longrightarrow\quad \left\{\!\begin{array}{l}\mathsf{a=-1}\\\mathsf{b=10}\\\mathsf{c=-24}\end{array}\right.$


$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=10^2-4\cdot (-1)\cdot (-24)}\\\\ \mathsf{\Delta=100-96}\\\\ \mathsf{\Delta=4}$


$\mathsf{t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-10\pm\sqrt{4}}{2\cdot (-1)}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-10\pm 2}{2\cdot (-1)}}$

$\mathsf{t=\dfrac{-\diagup\hspace{-7}2\cdot (5\mp 1)}{-\diagup\hspace{-7}2}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{t=5-1}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{t=5+1}\\\\ \mathsf{t=4~s}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{t=6~s} \end{array}$


A partícula passa pela origem dos espaços nos instantes $\mathsf{t=4~s}$  e  $\mathsf{t=6~s.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  equação horária posição espaço velocidade aceleração movimento uniformemente variado muv cinemática mecânica