Question

É dada a equação polinomial
(a + c + 2) x³ + (b + 3c + 1) x² + (c - a) x + (a + b + 4) = 0 com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação é recíproca de primeira espécie e que 1 é uma raiz, então o produto abc é igual a
a) –2 b) 4
c) 6 d) 9
e) 12

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$(a+c+2)x^{3}+(b+3c+1)x^{2}+(c-a)x+(a+b+4)=0$

Se a equação é recíproca de primeira espécie, significa então que os coeficientes extremos da equação são iguais.

    $a+c+2=a+b+4$

    $b+3c+1=c-a$

Como o número 1 é uma raiz dessa equação, a soma dos coeficientes é igual a zero. Então:

    $(a+c+2).1^{3}+(b+3c+1).1^{2}+(c-a).1+(a+b+4)=0$

    $a+c+2+b+3c+1+c-a+a+b+4=0$

    $a-a+a+b+b+c+3c+c+2+1+4=0$

    $a+2b+5c+7=0$

Formamos agora um sistema de equações

    $\left \{ {{a+c+2=a+b+4} \atop {b+3c+1=c-a}}\atop {a+2b+5c+7=0} \right.$

Arrumando o sistema, temos

    $\left \{ {{c=b+2} \atop {a+b+2c=-1}} \atop {a+2b+5c=-7}\right.$

Como  $c=b+2$, substitua-o nas outras duas equações

    $\left \{ {{a+b+2.(b+2)=-1} \atop {a+2b+5.(b+2)=-7}} \right.$     →     $\left \{ {{a+3b=-5} \atop {a+7b=-17}} \right.$

Resolvendo o sistema pelo método da soma, multiplicando a segunda equação por -1, fica

       $a+3b=-5$

    $-a-7b=17$

                         

          $-4b=12$     →     $b=-3$

Como  $c=b+2$, fica

    $c=-3+2$  →  $c=-1$

Escolha qualquer equação do sistema para calcular o a

    $a+3b=-5\\a+3.(-3)=-5\\a-9=-5\\a=4$

Tendo os valores de a, b e c, os seus produtos serão

    a · b · c = 4 · (-3) · (-1) = 12

alternativa E