É correto afirmar que a igualdade é verdadeira?
P(n)=1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^n=2-1/2^n
Soluções para a tarefa
P(n) se refere à soma dos infinitos termos de uma Progressão Geométrica de razão q = 1/2
Notemos que a soma se refere a uma P.G. do tipo:
(1,1/2,1/4,1/8,...)
A soma dos infinitos termos de uma P.G. cuja razão está entre 0 e 1, não sendo 0 nem 1, é dada pela seguinte fórmula simples:
S = A₁ / (1 - q)
Onde S é a soma, A₁ é o primeiro termo da sequência e q é a razão da P.G., a qual é obtida pela divisão de qualquer termo pelo seu antecessor.
No caso, A₁ = 1 e q = 1/2
Substituindo, teremos:
S ou P(n) = 1 / 1 - 1/2 = 1 / 1/2 = 2
P (n) = 2
Vamos pensar um pouco.
à primeira vista, parece-nos que 2 é diferente de 2 - (1/2)^n
Contudo, n é um valor muito grande, pois a P.G. é infinita. Assim, n tende ao infinito. Portanto, (1/2)^n será um valor muito pequeno, tendendo a zero.
Usando essa ideia, que tem muito a ver com o conceito de limites do cálculo, temos que, de fato, P(n) = 2 - (1/2)^n = 2