Question

É conhecido que a área do círculo de raio 1 vale pi. O objetivo deste fórum é provar que a área do círculo de raio 1 vale pi usando um processo de aproximação por polígonos regulares inscritos com n lados no círculo e polígonos regulares com n lados circunscritos ao círculo.
Mostre que quando n cresce para o infinito as áreas do polígonos regulares de n lados inscrito e circunscrito ao círculo convergem para pi.

Answer 1

Olá, tudo bem?

Para a resolução do fórum vamos considerar o seguinte:

Imagine que dentro do círculo de raio 1, nós desenhássemos polígonos, começando com o quadrado, depois um pentágono, um hexágono, um decágono... assim por diante. À medida que desenhamos polígonos com mais lados a área da nossa figura vai se aproximando da área do nosso círculo.

É sabido que a área de um polígono é dada pelo seu perímetro vezes seu apótema divido por 2. 

O perímetro seria o comprimento do entrono do polígono, e para que você entenda melhor o apótema, imagine que temos um decágono, para descobrir seu apótema basta dividir o decágono em 10 triângulos (como uma pizza) e o apótema será a altura de um desses triângulos, ou seja, a distância entre o centro do polígono até a base de um dos triângulos desenhados. 

Sabemos que à medida que desenhamos polígonos com mais lados, mais nos aproximamos de uma figura muito parecida com o círculo, e portanto, se esse número de lados tende a infinito encontramos um polígono com o mesmo perímetro de uma circunferência e com um apótema do tamanho do raio do círculo. E portanto, calculando a área desse polígono teremos o valor da área do próprio círculo.

A fórmula do perímetro de uma circunferência nós já temos e é igual a 2πR, porém como se trata de uma circunferência de raio 1, temos que o perímetro do nosso polígono de lados infinitos seria 2π. E o apótema desse polígono como dito anteriormente tenderia ao próprio raio do círculo, que é 1.

Então agora basta substituir esses valores na fórmula da área do polígono:

A= Perimetro * Apótema/2
A= 2πR*R/2 
A= 2π*1/2 
A= 2π/2 
A= π

Dessa forma concluímos que a área do polígono de infinitos lados circunscrito ou inscrito na circunferência de raio 1 tende a π, já que seu perímetro tende a ser o mesmo da circunferência e seu apótema tende a ser igual ao raio da circunferência. 

Espero ter ajudado!