Question

É comum em finals de ano as pessoas brincarem de amigo secreto, que é a troca de presentes
entre os participantes. Este ano, os funcionários do mercadinho de mãe Ana, resolveram brincar
de amigo-chocolate, e realizaram a troca de chocolates. As regras são as mesmas do amigo-
secreto. Considerando que participam 25 pessoas, entre os quais 9 são mulheres e 16 homens.
Calcule a probabilidade de uma pessoa tirar, no sorteio o nome de uma mulher é
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Answer 1

A Probabilidade de sair o nome de uma mulher é $\dfrac{17}{24}$.

Nesta problemática de Probabilidades temos que considerar duas opções:

1. Quem retira o papel é homem;
2. Quem retira o papel é mulher;

Porque é que acontece isto? Porque nos dois casos as probabilidades são diferentes. Depois no final somamos as duas probabilidades para ter todos os casos possíveis e a probabilidade final.

Antes de mais vamos ver a fórmula da Probabilidade:

$P=\dfrac{\mathsf{Casos~Favoraveis}}{\mathsf{Casos~Totais}}$

Os Casos Favoráveis são aqueles pedidos pelo exercício, neste caso, é os casos de sair uma mulher no sorteio.

Os Casos Totais, tal como o nome diz, são todos os casos possíveis.

Vamos ao primeiro caso, quem retira o papel é homem. Sendo assim existem 15 homens, são 16 mas o homem que está a retirar o papel não pode calhar ele mesmo, e 9 mulheres a quem pode calhar fazer o amigo-chocolate.

Nesta opção os casos favoráveis são 9, porque existem 9 mulheres. Os casos totais são a soma do número de mulheres e de homens:

$15+9=24$

Logo 24 casos totais, agora substituímos na fórmula:

$P=\dfrac{\mathsf{Casos~Favoraveis}}{\mathsf{Casos~Totais}}(=)\\\\P=\dfrac{9}{24_{(:3)}}(=)\\\\P=\dfrac{3}{8}$

Logo a Probabilidade de sair uma mulher, sendo homem, é $\dfrac{3}{8}$ .

A segundo caso, é retirar o nome de uma mulher sendo uma mulher.

Neste caso existem 16 homens e 8 mulheres, menos uma mulher pois é precisamente uma mulher que está a retirar o papel e não pode calhar a ela mesma.

Logo, 8 casos favoráveis e:

$16+8=24$

E 24 casos totais, então:

$P=\dfrac{\mathsf{Casos~Favoraveis}}{\mathsf{Casos~Totais}}(=)\\\\P=\dfrac{8}{24_{(:8)}}(=)\\\\P=\dfrac{1}{3}$

Assim, a Probabilidade de calhar uma mulher também sendo mulher é $\dfrac{1}{3}$ .

Agora para sabermos a probabilidade final, basta somar:

$\dfrac{1}{3_{(\times8)}} + \dfrac{3}{8_{(\times3)}}=\\\\\dfrac{8}{24} + \dfrac{9}{24}=\\\\\dfrac{8+9}{24}=\\\\\dfrac{17}{24}$

Então a Probabilidade de sair o nome de uma mulher no sorteio, sendo um homem ou uma mulher a retirar o papel, é $\dfrac{17}{24}$ .

Resumindo, bastou analisarmos os vários casos possíveis, depois usar a fórmula da Probabilidade e no final somar todas as probabilidades de todos os casos.

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