Question

DUVIDO ALGUÉM RESPONDER ESSA EQUAÇÃO ! NÍVEL FÁCIL!

Answer 1

Resposta:

$\Large\boxed{\bold{y=C\cdot t^{\frac{1}{5}},~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{y}{5t}$

Esta é uma equação diferencial separável, da forma: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u(y)}{v(x)}$.

Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dt}{5t}$

Integre ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{dt}{5t}$

Lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto da constante pela integral da função, isto é: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral imediata: $\displaystyle{\int\dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$.

Aplique a propriedade da constante, temos:

$\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\dfrac{1}{5}\cdot\int\dfrac{dt}{t}$

Calcule as integrais

$\ln|y|+C_1=\dfrac{1}{5}\cdot(\ln|t|+C_2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\ln|y|+C_1=\dfrac{1}{5}\cdot\ln|t|+\dfrac{C_2}{5}$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da equação e considere $\dfrac{C_2}{5}-C_1=C_3$

$\ln|y|=\dfrac{1}{5}\cdot\ln|t|+C_3$

Visto que buscamos uma solução da forma $y=y(x)$, fazemos:

$\ln(y)=\dfrac{1}{5}\cdot\ln(t)+C_3$

Aplique as propriedades de logaritmos: $a\cdot\ln(x)=\ln(x^a)$ e $\ln(x)=b\Rightarrow a=e^b$

$\ln(y)=\ln(t^{\frac{1}{5}})+C_3\\\\\\ y=e^{\ln(t^{\frac{1}{5}})+C_3}$

Aplique a propriedade do produto de potências de mesma base: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$.

$y=e^{\ln(t^{\frac{1}{5}})}\cdot e^{C_3}$

Considere $e^{C_3}=C$ e aplique a propriedade de logaritmos: $e^{\ln(x)}=x$.

$y=C\cdot t^{\frac{1}{5}}$

Esta é a solução desta equação diferencial.