Question

DUVIDO ALGUÉM RESPONDER ESSA EQUAÇÃO !

Answer 1

Começamos por reescrever a equação na forma:

$y' = \dfrac{y+x}{2x} \iff 2xy' = y+x \iff -y - x + 2xy' = 0 \iff \\ \\\iff M(x,y) + N(x,y)y' = 0,$

onde definimos $M(x,y) = -y-x$ e $N(x,y) = 2x$.

Como $\dfrac{\partial M}{\partial y} = -1 \neq \dfrac{\partial N}{\partial x} = 2$, a equação não é exata. Contudo, podemos supor que existe um fator integrante da forma que a torne exata, ou seja, podemos tentar encontrar $\mu$ tal que:

$\dfrac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \dfrac{\partial(\mu N)}{\partial x}.$

Se admitirmos que $\mu = \mu(x)$, então a equação pode ser simplificada:

$\displaystyle \mu \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\textrm{d}\mu}{\textrm{d}x}N + \mu\dfrac{\partial N}{\partial x} \iff -\mu = 2x \dfrac{\textrm{d}\mu}{\textrm{d}x} + 2\mu \iff -3\mu = 2x\dfrac{\textrm{d}\mu}{\textrm{d}x} \iff\\\\\iff \int\dfrac{\textrm{d}\mu}{\mu} = -\dfrac{3}{2}\int\dfrac{\textrm{d}x}{x} \iff \ln \mu = -\dfrac{3}{2}\ln x \iff \ln \mu = \ln\left(x^{-3/2}\right) \iff\\\\\iff \mu(x) = x^{-3/2},$

onde colocámos a constante de integração a zero. Notamos então que:

$\dfrac{\partial(\mu M)}{\partial y} = -x^{-3/2} \quad \textrm{e} \quad \dfrac{\partial(\mu N)}{\partial x} = 2\dfrac{\partial(x^{-1/2})}{\partial x} = -2 \times \dfrac{1}{2}x^{-3/2} = -x^{-3/2},$

donde $\dfrac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \dfrac{\partial (\mu N)}{\partial x}, \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2.$

Como tal, deve existir uma função potencial $\Phi(x,y)$ tal que:

$\dfrac{\partial\Phi}{\partial x} = \mu M \quad\textrm{e}\quad \dfrac{\partial\Phi}{\partial y} = \mu N.$

De facto, integrando a segunda igualdade em relação a $y$, temos:

$\displaystyle \int\dfrac{\partial \Phi}{\partial y}\;\textrm{d}y = \int 2x^{-1/2}\,\textrm{d}y \iff \Phi(x,y) = 2x^{-1/2}y + f(x),$

onde $f$ é uma função diferenciável de $x$, apenas. Então temos:

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial x} = -2\times\dfrac{1}{2}x^{-3/2}y + f'(x) = -x^{-3/2}y + f'(x).$

Para que

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial x} = \mu M = x^{-3/2}(-y-x) = -x^{-3/2}y - x^{-1/2},$

fica claro que devemos ter:

$\displaystyle f'(x) = -x^{-1/2} \iff f(x) = -\int x^{-1/2}\,\textrm{d}x = -\dfrac{x^{1/2}}{1/2} = -2x^{1/2},$

onde, de novo, colocámos a constante de integração a zero. Finalmente, obtemos:

$\Phi(x,y) = 2x^{-1/2}y - 2x^{1/2}.$

Esta função potencial tem a propriedade de ser constante para cada solução $y(x)$, donde:

$\Phi(x,y(x)) = c \iff 2x^{-1/2}y(x) - 2x^{1/2} = c \iff \\\\\iff 2x^{-1/2}y(x) = c + 2x^{1/2} \iff y(x) = \dfrac{c + 2x^{1/2}}{2x^{-1/2}} \iff\\\\\iff y(x) = x + kx^{1/2}.$

para alguma constante $c \in \mathbb{R}$. Note-se que definimos ainda $k = \dfrac{c}{2}$ para simplificar. A constante $k$ deve então ser determinada a partir da condição inicial.  

Finalmente, dada a forma inicial da equação diferencial, temos que $x \neq 0$, pois figura em denominador. Por outro lado $y(x)$ apresenta uma raiz quadrada, que só está definida para $x \geq 0$. Juntando ambas as condições, concluímos que o intervalo máximo de definição é $]0, \infty[ = \mathbb{R}^+$, ou seja, os reais positivos.

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{y=x+C\sqrt{x},~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a equação diferencial:

$y'=\dfrac{y+x}{2x}$

Separe a fração como uma soma de frações

$y'=\dfrac{y}{2x}+\dfrac{x}{2x}$

Subtraia $\dfrac{y}{2x}$ em ambos os lados da equação e simplifique a fração

$y'-\dfrac{y}{2x}=\dfrac{1}{2}$

Esta é uma equação de Bernoulli. Para resolvê-la, lembre-se que ela assume a forma: $y'+p(x)y=q(x)\cdot y^n$.

Sua solução será dada utilizando o método do fator integrante: $\bold{I.~F=e^{\int p(x)\,dx}}$.

Neste caso, temos uma equação de Bernoulli com $n=0$. Isto significa que podemos calcular diretamente seu fator integrante, substituindo $p(x)=-\dfrac{1}{2x}$:

$\bold{I.~F=e^{\int -\frac{1}{2x}\,dx}}$

Para calcular a integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto da constante pela integral da função, isto é: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral imediata: $\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$.

Calcule o fator integrante:

$\bold{I.~F=e^{-\frac{1}{2}\cdot\int \frac{1}{x}\,dx}}\\\\\\ \bold{I.~F=e^{-\frac{1}{2}\cdot(\ln|x|+C_1)}}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\bold{I.~F=e^{-\frac{1}{2}\cdot\ln|x|-\frac{C_1}{2}}}$

Aplique a propriedade do produto de potências de mesma base: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ e considere $e^{-\frac{C_1}{2}}=C_2$

$\bold{I.~F=e^{-\frac{1}{2}\cdot\ln|x|}\cdot e^{-\frac{C_1}{2}}}\\\\\\ \bold{I.~F=C_2e^{-\frac{1}{2}\cdot\ln|x|}}$

Aplique as propriedade de logaritmos: $a\cdot \ln(x)=\ln(x^a)$ e $e^{\ln(x)}=x$.

$\bold{I.~F=C_2e^{\ln|x^{-\frac{1}{2}}|}}\\\\\\ \bold{I.~F=C_2\cdot x^{-\frac{1}{2}}}$

Então, a solução geral desta equação diferencial assume a forma $y=y(x)$ e é dada por:

$y=\bold{\dfrac{\displaystyle{\int q(x)\cdot I.~F}}{I.~F}}$

Substituindo o fator integrante e $q(x)=\dfrac{1}{2}$, temos

$y=\bold{\dfrac{\displaystyle{\int \dfrac{1}{2}\cdot C_2\cdot x^{-\frac{1}{2}}}}{C_2\cdot x^{-\frac{1}{2}}}}$

Aplique a propriedade da constante e simplifique a fração

$y=\bold{\dfrac{\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int x^{-\frac{1}{2}}}}{x^{-\frac{1}{2}}}}$

Calcule a integral da potência, sabendo que $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq -1$.

$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C_3\right)}{x^{-\frac{1}{2}}}}$

Some os valores e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\dfrac{C_3}{2}}{x^{-\frac{1}{2}}}$

Calcule a fração de frações e multiplique os valores

$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot2x^{\frac{1}{2}}+\dfrac{C_3}{2}}{x^{-\frac{1}{2}}}\\\\\\ y=\dfrac{x^{\frac{1}{2}}+\dfrac{C_3}{2}}{x^{-\frac{1}{2}}}$

Considere $\dfrac{C_3}{2}=C$

$y=\dfrac{x^{\frac{1}{2}}+C}{x^{-\frac{1}{2}}}$

Aplique a propriedade de potências de expoentes negativos: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

$y=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}+C\cdot x^{\frac{1}{2}}$

Aplique a propriedade do produto de potências de mesma base

$y=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}+C\cdot x^{\frac{1}{2}}\\\\\\ y=x+C\cdot x^{\frac{1}{2}}$

Aplique a propriedade de potência de expoente fracionário: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

$y=x+C\sqrt{x}$

Esta é a solução geral desta equação diferencial.