Question

Dúvida em uma questão de Eletricidade:
Um anel semi-circular de densidade de cargas λ0= constante=c e raio R e um segmento de reta de comprimento 2R, eletrizado com densidade de cargas λ1=c*x2. Determinar o valor de λ0 para que o campo na origem seja nulo. (Sugestão: calcule o campo de cada distribuição na origem e superponha os efeitos).

Answer 1

Vamos começar por tratar o campo elétrico do anel semi-circular, para o qual utilizaremos coordenadas cilíndricas com o versor radial $\hat{\rho}$.

O campo elétrico na origem criado por um elemento de carga $\textrm{d}q$ associado ao elemento $\textrm{d}\ell$ do anel é dado por:

$\textrm{d}\vec{E} = \dfrac{\textrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\vec{r}}{r^3},$

onde $\vec{r} = -R\hat{\rho}$ é o vetor que liga o elemento $\textrm{d}q$ à origem, cuja magnitude é:

$r = |\vec{r}| = R$

Da definição de densidade linear de carga, temos:

$\lambda_0 = \dfrac{\textrm{d}q}{\textrm{d}\ell} \iff \textrm{d}q = \lambda_0 \textrm{ d}\ell.$

Em coordenadas polares, o elemento $\textrm{d}\ell$ é escrito na forma:

$\textrm{d}\ell = R \textrm{ d}\varphi.$

Juntando tudo, vem:

$\textrm{d}\vec{E} = \dfrac{\lambda_0 R\textrm{ d}\varphi}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{-R\hat{\rho}}{R^3} = -\dfrac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0R}\hat{\rho}\textrm{ d}\varphi.$

Integramos agora sobre $\varphi \in \left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[$, notando que, em coordenadas cartesianas, $\hat{\rho} = \cos\varphi\,\hat{x} + \sin\varphi\,\hat{y}$:

$\vec{E} = -\dfrac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0R}\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{3\pi/2}(\cos\varphi\,\hat{x} + \sin\varphi\,\hat{y})\textrm{ d}\varphi.$

Os integrais são então:

$\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos\varphi\textrm{ d}\varphi = \sin\varphi\Big\vert_{\pi/2}^{3\pi/2} = \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) - \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1 - 1 = -2;$

$\displaystyle\int\limits_{\pi/2}^{3\pi/2}\sin\varphi\textrm{ d}\varphi = -\cos\varphi\Big\vert_{\pi/2}^{3\pi/2} = -\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 + 0 = 0.$

Obtemos por fim o campo:

$\vec{E} = \dfrac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0R}\hat{x}.$

Poderíamos ter previsto por simetria que a componente em $\hat{y}$ se anularia.

Relativamente ao campo gerado pelo segmento de reta, além das informações do enunciado, representarei a distância entre a extremidade esquerda e a origem por $D$.

Vamos proceder como acima, mas desta vez utilizaremos apenas coordenadas cartesianas. O elemento $\textrm{d}q$ associado ao elemento $\textrm{d}\ell = \textrm{d}x$ do segmento é, à semelhança do raciocínio para o anel:

$\textrm{d}q = \lambda_1 \textrm{ d}\ell = cx^2\textrm{ d}x.$

O campo elétrico que o elemento $\textrm{d}q$ causa na origem é:

$\textrm{d}\vec{E} = \dfrac{\textrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\vec{r}}{r^3},$

com o vetor que une o elemento $\textrm{d}q$ à origem dado por:

$\vec{r} = -x\hat{x},$

cuja magnitude é:

$r = x \implies r^3 = x^3.$

Podemos então concretizar:

$\textrm{d}\vec{E} = \dfrac{cx^2\textrm{ d}x}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{-x\hat{x}}{x^3} = -\dfrac{c}{4\pi\varepsilon_0}\hat{x}\textrm{ d}x.$

Podemos agora integrar sobre $x \in [D, D+ 2R[$:

$\vec{E} = -\dfrac{c}{4\pi\varepsilon_0}\hat{x}\displaystyle\underbrace{\int\limits_D^{D+2R}\textrm{d}x}_{=2R} = -\dfrac{cR}{2\pi\varepsilon_0}\hat{x}.$

Podemos agora sobrepor os campos para obter o campo elétrico resultante:

$\vec{E}_\textrm{res} = \dfrac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0R}\hat{x} - \dfrac{cR}{2\pi\varepsilon_0}\hat{x}.$

O campo anula-se então se:

$\vec{E}_\textrm{res} = \vec{0} \iff \dfrac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0R} = \dfrac{cR}{2\pi\varepsilon_0} \iff \boxed{\lambda_0 = cR^2}.$