Question

Dúvida em uma questão de divisão de polinômios:
Um polinômio P(x), dividido por x+1 dá resto -1, por x-1 dá resto 1 e por x+2 dá resto 1. Qual será o resto da divisão do polinômio P(x) por (x + 1)(x - 1)(x + 2)?

Resposta: x² + x - 1

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{R(x)=x^2+x-1}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de polinômios.

De acordo com o enunciado, dado um polinômio $P(x)$, sua divisão por $x-1$ deixa resto $1$, por $x+1$ deixa resto $-1$ e por $x+2$ deixa resto $2$.

Buscamos o resto da divisão do polinômio $P(x)$ por $(x-1)(x+1)(x+2)$.

Primeiro, lembre-se que

$P(x)=D(x)\cdot Q(x) + R(x)$, tal que $P(x)$ é o dividendo, $D(x)$ é o divisor, $Q(x)$ é o quociente e $R(x)$  é o resto.

O resto tem sempre grau menor que o polinômio. Sabemos pelo Teorema de D'Alembert que a divisão de um polinômio $P(x)$ por $x-\alpha$ tem resto $r=P(\alpha)$.

Como buscamos o resto da divisão de um polinômio pelo produto de três polinômios de grau 1, sabemos que o resto terá no máximo grau 2.

Então, teremos:

$P(x)=Q(x)(x-1)(x+1)(x+2)+R(x)$

Como comentado anteriormente, $R(x)$ terá grau 2, logo será um polinômio da forma $ax^2+bx+c$

Ao aplicarmos o teorema descrito acima, teremos

$\begin{cases}P(1)=R(1)\\ P(-1)=R(-1)\\ P(-2)=R(-2)\\\end{cases}$

Logo, sabendo que $P(1)=1$, $P(-1)=-1$ e $P(-2)=1$, temos que:

$\begin{cases}a\cdot1^2+b\cdot1+c=1\\ a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c=-1\\ a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c=1\\\end{cases}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\begin{cases}a+b+c=1\\ a-b+c=-1\\ 4a-2b+c=1\\\end{cases}$

Somando a primeira e segunda equações, temos

$a+b+c+a-b+c=1-1\\\\\\ 2a+2c=0\\\\\\ a + c=0$

Portanto, substituindo esta expressão em qualquer uma das duas, temos:

$a+b+c=1\\\\\\ 0+b=1\\\\\\ b=1$

Substituindo o valor de $b$ na terceira equação, temos

$4a-2\cdot1+c=1$

Multiplicando os valores

$4a-2+c=1$

Some 2 em ambos os lados da equação

$4a+c=3$

Então compare a equação que encontramos ao somar as duas primeiras equações com esta:

$\begin{cases}a+c=0\\ 4a+c=3\\\end{cases}$

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos

$4a+c-(a+c)=3-0\\\\\\ 4a+\not{c}-a-\not{c}=3\\\\\\ 3a=3$

Divida ambos os lados da equação por 3

$a=1$

Substituindo os valores de $a$ e $b$ em qualquer uma das equações:

$1+1+c=1$

Dessa forma, descobrimos que

$2+c=1\\\\\\ c=1-2\\\\\\ c=-1$

Substituindo os valores em $R(x)=ax^2+bx+c$, finalmente teremos que

O resto da divisão do polinômio $P(x)$ por $(x-1)(x+1)(x+2)$ é $R(x)=x^2+x-1$.