Question

duvida em integral

$\int\limits^a_b {(2-\sqrt{x})^2} \, dx$

como resolve essa integral? e uma integral indefinida

Answer 1

Calcular a integral

     $\displaystyle\int (2-\sqrt{x})^2\,dx$


Você pode expandir o quadrado da diferença usando produtos notáveis:

     •  (p − q)² = p² − 2pq + q²


e a integral fica

     $\displaystyle=\int \big(2^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{x}+(\sqrt{x})^2\big)\,dx\\\\\\ =\int (4-4\sqrt{x}+x)\,dx\\\\\\ =4\int dx-4\int \sqrt{x}\,dx+\int x\,dx\\\\\\ =4\int dx-4\int x^{1/2}\,dx+\int x\,dx$


Agora basta aplicarmos a regra para integrar potências:

     •  $\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad\mathsf{para~}n\ne -1$


e a integral fica

     $=4x-4\cdot \dfrac{x^{(1/2)+1}}{\frac{1}{2}+1}+\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+C\\\\\\ =4x-4\cdot \dfrac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}+\dfrac{x^2}{2}+C\\\\\\ =4x-4\cdot \dfrac{2}{3}\,x^{3/2}+\dfrac{x^2}{2}+C$

     $=4x-\dfrac{8x^{3/2}}{3}+\dfrac{x^2}{2}+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{ resposta}$


Para calcular a integral definida de a até b, basta você avaliar a primitiva encontrada nas extremidades do intervalo, usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

     $\displaystyle\int_a^b (2-\sqrt{x})^2\,dx=F(b)-F(a)$


onde

     $F(x)=4x-\dfrac{8x^{3/2}}{3}+\dfrac{x^2}{2}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)