Question

Duvida Calculo I é pra prova! me ajudem !
1_Determinar os pontos da curva y= 4x^3+6x^2-24x+10 nos quais a reta tangente é horizontal.
2_Reflita qual a condição (sobre o angulo) em que duas retas sejam paralelas.
3_ Determine em qual ponto (ou pontos) a tangente a curva y=x^2+3x é paralela a tangente da curva y=x^3+5.

Obrigado!

Answer 1

1) Se a reta tangente é horizontal, então o coeficiente angular dela vale 0. E sabemos que o coeficiente angular da reta tangente a uma curva é a derivada da curva.

Temos a curva :

$\text y = 4\text x^3+6\text x^2-24\text x+10$

Derivando para encontrar o coeficiente angular da reta tangente :

$\text y' \to \text m = 12\text x^2+12\text x - 24$

Para m = 0 , temos :

$\displaystyle 12\text x^2+12\text x - 24=0 \\\\ \text x^2 + \text x - 2 = 0 \\\\ \text x = \frac{-1\pm\sqrt{1-4.(-2) }}{2}\\\\ \text x = \frac{-1\pm\sqrt{9}}{2} \to \text x = \frac{-1\pm3}{2} \\\\\\\huge\boxed{\text x = -2 \ ; \ \text x = 1}\checkmark$

2) A condição para que duas retas sejam paralelas é o coeficiente angular das duas retas serem iguais

3) Em qual ponto (ou pontos) a tangente à curva $\text y=\text x^2+3\text x$ é paralela a tangente da curva $\text y = \text x^3+5$

Achando o coeficiente angular da reta tangente à curva $\text y=\text x^2+3\text x$ :

$\text y ' \to \text m_1 = 2\text x + 3$

Achando o coeficiente angular da reta tangente à curva $\text y = \text x^3+5$

$\text y' \to \text m_2 = 3\text x^2$

Se as retas tangentes às curvas são paralelas os coeficiente angulares delas serão iguais, ou seja :

$\text m_1 = \text m _2$

$2\text x+3 = 3\text x^2$

$3\text x^2-2\text x - 3 = 0$

$\displaystyle \text x = \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4.3.(-3)}}{2.3}\\\\ \text x = \frac{2\pm\sqrt{4+36}}{6} \to \text x = \frac{2\pm\sqrt{40} }{6}\\\\ \text x = \frac{2\pm2\sqrt{10}}{6} \\\\\huge\boxed{\text x = \frac{1+\sqrt{10}}{3} \ ; \ \text x = \frac{1-\sqrt{10}}{3}}\checkmark$