Question

Dúvida a respeito de equações trigonométricas;

Muitas vezes, quando estou resolvendo uma equação, me confundo em relação a quando ela pode ser simplesmente resolvida como equação de 1o grau direto, ou quando são necessárias substituições. Por exemplo;

cos(5x) - cos(x+pi/2) sendo a mesma coisa que
5x - x + pi/2 e daí rsolvendo normalmente

Porque é que algumas equações trigonométricas envolvem várias substituições, e algumas são feitas de maneira direta?

Answer 1

Na verdade não podemos "cortar os cossenos" e "resolver normalmente". Nao faça isso em hipótese alguma. Pode dar certo em alguns casos, mas não é assim... Em questões dissertativas ganharia Zero com toda a certeza, pois o desenvolvimento é diferente.

Primeira diferença: as funções trigonométricas são periódicas... Ou seja, podemos ter infinitas soluções, pois os valores se repetem em determinados períodos. (Para que não tenhamos infinitas soluções, o enuncido deve especificar em que intervalo ele quer as soluções.)

Por exemplo:
$\cos(5x) - \cos(x + \frac{\pi}{2} ) = 0$
$\cos(5x) = \cos(x + \frac{\pi}{2} )$
Mas e agora? Posso "cortar"??? NÃOOO!!!! Não desse jeito, direto....

Agora vc tem que parar e pensar no círculo trigonométrico. Faça a pergunta olhando pro círculo, "quando um cosseno é igual ao outro?"

Em 2 casos gerais:
$\cos(x) = \cos(y)$
$x=y+2k\pi \: ou \: x=(2\pi - y)+2k\pi$
k=0,1,2,3,4....... (indica as voltas que foram dadas no círculo trigonométrico)


A resposta da sua equação seria:
$5x = x + \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$x = \frac{1}{4} ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$
OU
$5x = (2\pi - (x + \frac{\pi}{2} )) + 2k\pi$
$x = \frac{1}{6} ( \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$
agora.... o enunciado da questão deve dizer em que intervalo ele quer as respostas....

Para fazer ""direto"" como vc disse o intervalo teria que ser especificamente o de [0;(π/2)]
SOMENTE NESSE CASO.... O mais comum é pedirem de [0;2π]... aí vc teria que colocar as duas respostas....