Question

Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso descreve é um arco de parábola. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por h(t) = 80t - 5t², sendo h a altura do sinal, em metro, e t o tempo decorrido após o disparo, em segundo.
a)Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir?
b)Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal luminoso atingir a altura máxima?

Answer 1

a)

h(t) = 80t - 5t²

Temos uma parábola com concavidade voltada para baixo, logo temos um ponto máximo, onde h é dado por

h = - Δ
       ----
        4a

Δ = b² - 4ac
Δ = (80)² - 4.(-5).(0)
Δ = 80²
Δ = 6400

h = - 6400
        -------
        4 . (-5)

h = - 6400
        -------
          - 20

h = 320 metros

Esse sinal luminoso pode atingir até 320 metros de altura.

------------------------------------------------------------------------------------

b) h(t) = 80t - 5t²
  
     320 = 80t - 5t²
  
     5t² - 80t + 320 = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = (-80)² - 4.(5).(320)
Δ = 6400 - 6400
Δ = 0

$t = \frac{-b \frac{+}{-} \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

$t = \frac{-(-80) \frac{+}{-} \sqrt{0} }{2.(5)}$

$t = \frac{80 \frac{+}{-}0 }{10}$

$t = \frac{80}{10}$

t = 8

Passam-se 8 segundos, após o disparo, até o sinal luminoso atingir a altura máxima.

Answer 2

a) A altura máxima que esse sinal luminoso atingirá é de 320 metros.

b) O tempo, após o disparo, para que o sinal luminoso atinga a altura máxima da trajetória é de 8 segundos.

Podemos determinar tanto o valor da altura máxima, quanto o intervalo de tempo que levará para isso ocorrer, pela análise do vértice da parábola da função quadrática.

Questão A

Dada a função quadrática:

$\boxed{ h(t) = -5t^2+80t }$

A altura do sinal luminoso é função do intervalo de tempo. Podemos calcular a altura máxima a partir da análise do gráfico da função quadrática.

Uma função quadrática é uma relação que pode ser dada pela fórmula geral:

$\boxed{ f(x) = ax^{2} + bx + c = 0 , \: a \neq 0 }$

Os números $a, b \text{ e } c$ são coeficientes da função quadrática.

Coeficientes

Para a função dada, os coeficientes são:

• a = -5;

• b = 80;

• c = 0.

Além disso, a partir do estudo do coeficiente $a$ da função podemos avaliar o máximo ou mínimo da função.

Concavidade da Parábola

Se:

• a>0 o gráfico da função será uma parábola com concavidade voltada para cima e sua imagem apresentará um valor de mínimo;

• a < 0 o gráfico da função será uma parábola com concavidade voltada para baixo e sua imagem apresentará um valor de máximo;

Como $a=-5 < 0$. A função possui um valor de máximo.

O valor de máximo da função pode ser calculado pela fórmula da ordenada do vértice:

$\boxed{ V_y = - \dfrac{ \Delta }{ 4a } = -\dfrac{b^2-4 \cdot a \cdot c}{4a} }$

Substituindo os valores dos coeficientes:

$V_y = -\dfrac{b^2-4 \cdot a \cdot c}{4a} \\\\V_y = -\dfrac{80^2-4 \cdot (-5) \cdot 0}{4 \cdot (-5)} \\\\V_y = -\dfrac{6400}{-20} \\\\\boxed{ \boxed{ V_y = 320 \: m } }$

A altura máxima atinga pelo sinal luminoso é de 320 metros.

Questão B

Para determinar o intervalo que tempo que o sinal luminoso atingirá a altura máxima, basta determinarmos o valor da abscissa do vértice da parábola da função:

$\boxed{V_x = -\frac{b}{2a} }$

Assim, substituindo os valores dos coeficientes na fórmula, calculamos o intervalo de tempo pedido:

$V_x = -\dfrac{b}{2a} \\\\V_x = -\dfrac{80}{2\cdot (-5)} \\\\V_x = -\dfrac{80}{{-10}} \\\\\boxed{ \boxed{ V_x = 8} }$

Outra maneira de determinar o intervalo de tempo, é substituindo o valor de $h(t) = 320$ na fórmula dada, já que estamos procurando o par ordenado que representa o vértice da parábola dada.

Assim, o intervalo de tempo para que o sinal luminoso atinga a altura máxima é igual a 8 segundos.

Para saber mais sobre Função Quadrática, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/9660765 https://brainly.com.br/tarefa/24023254

Espero ter ajudado, até a próxima :)

#SPJ3