Question

Durante uma cobrança de pênalti em uma partida de futebol, um jogador erra o gol e chuta a bola de 900π cm² de área superficial por cima de um muro, distante de seu centro em 5 metros, cuja altura é de 2,25 metros e largura desprezível. No instante em que a bola passa por cima do muro, a uma distância de 10 centímetros, sua altura é máxima.
Se a parábola de função f(x) = ax² + bx + c, com b ≠ 0, representa o trajeto da bola a partir de seu centro, que inicialmente marca o ponto de intersecção com o eixo das ordenadas, então a + b é:


a) 1
b) 0,846
c) 0,655
d) 0,419
e) 0,276

Answer 1

• A resposta correta é a alternativa b)

Conceitos utilizados:

1. Área de esfera;
2. Parábola;
3. Equação do segundo grau.

Resolução:

   O exercício fala sobre uma parábola que representa o trajeto da bola após o chute. Precisamos de um eixo X e um eixo Y como referência para resolver a questão. Aparentemente, o modo mais fácil é considerar o chão como o eixo das abscissas e o centro de massa da bola como um ponto determinante do eixo das ordenadas. Isso significa que o eixo Y, perpendicular ao chão, passa pelo centro da bola.

Raio da bola

   Seguindo esse método, é necessário calcular o raio da bola a partir da área superficial informada, que é de 900π cm².

• Fórmula da área de uma esfera:

$\boxed{A = 4 . \pi . r^2}$

Onde:

- A = área da esfera;

- r = raio da esfera.

Substituindo os valores, temos:

900π cm² = 4 · π · r²

Podemos cortar π dos dois lados. Além disso, vamos passar o 4 dividindo.

225 cm² = r²

r = √225 cm²

r = 15 cm = 0,15 m

(É importante deixar a unidade em metros para ser igual aos demais valores fornecidos pelo enunciado)

Ponto de intersecção

   No método escolhido, o centro de massa da bola representa o ponto de intersecção no eixo Y. Isso significa que o valor de C na função da parábola será maior que zero, pois essa intersecção ocorre acima do solo (exatamente 0,15 metros acima, a medida do raio).

   Com essas informações, já temos o valor do termo independente (c), que é 0,15 (também podemos representar como 3/20).

Vértice da parábola

   De acordo com o enunciado, a bola atinge a altura máxima no instante em que passa pelo muro, ou seja, sua distância horizontal até o ponto inicial onde houve o chute é de exatamente 5 metros (a distância entre o muro, de largura desprezível, e a posição inicial da bola).

   Sabendo que a altura é máxima, temos o maior valor de Y na função, caracterizando o vértice da parábola. Como adotamos o chão (altura = 0) como eixo X, a coordenada Y do vértice será igual à altura do solo até o centro de massa da bola nesse instante.

» Y do vértice (Yv):

Altura do muro + 10 cm + raio da bola

2,25 m + 0,1 m + 0,15 m = 2,5 m

• Yv = 2,5

» X do vértice (Xv):

Sabe-se que a distância entre o muro e o centro da bola na posição inicial (em relação às coordenadas X) é de 5 metros, e essa distância equivale ao X do vértice pois, ao contrário da coordenada Y, a coordenada X era igual a 0 no momento inicial.

• Xv = 5

Achando os valores de "a" e "b"

As fórmulas para achar o vértice de uma parábola são:

$Xv = -\dfrac{b}{2a}\\\\\\Yv = -\dfrac{\Delta}{4a}$

Substituindo cada uma pelo respectivo valor encontrado anteriormente, temos:

$5 = -\dfrac{b}{2a}\\\\10a = -b\\\\\boxed{a = -\dfrac{b}{10}}$

$2,5 = -\dfrac{\Delta}{4a}\\\\10a = -\Delta$

Podemos perceber que 10 . a = -b e 10 . a = -Δ.

Isso significa que -b = -Δ ∴ b = Δ

Se Δ = b² - 4.a.c, então b = b² - 4.a.c

O próximo passo é desenvolver isso:

$b = b^2 - 4.a.c\\\\b = b^2 - 4.(-\dfrac{b}{10}).\dfrac{3}{20}\\\\b = b^2 - 4.(-\dfrac{3b}{200})\\\\b = b^2 + \dfrac{12b}{200}\\\\b = b^2 + \dfrac{3b}{50}\\\\50b = 50b^2 + 3b\\50b^2 = 50b - 3b\\\\50b^2 = 47b$

Como b ≠ 0 (pelo enunciado), podemos dividir os dois lados por b.

$\dfrac{50b^2}{b} = \dfrac{47b}{b}\\\\50b = 47\\\\\boxed{b = \dfrac{47}{50}}$

Valor de "a"

$\boxed{a = -\dfrac{b}{10}}\\\\\\\\a = - \dfrac{(\dfrac{47}{50})}{10}\\\\\\a = -\dfrac{47}{50 . 10}\\\\\\\boxed{a = -\dfrac{47}{500}}$

Calculando a + b

$a + b = -\dfrac{47}{500} + \dfrac{47}{50}\\\\\\a + b = -\dfrac{47}{500} + \dfrac{470}{500}\\\\\\a + b = \dfrac{423}{500} = 0,846$

• Conclusão

   O resultado da soma a + b é 0,864. O mesmo valor seria encontrado ao utilizarmos outros métodos (por exemplo, considerar a trajetória da bola a partir de sua superfície), contudo, talvez a resolução seria mais trabalhosa.

   Os cálculos envolvidos nessa questão não são muito complicados, mas é preciso fazer uma boa leitura do enunciado e prestar atenção em todas as informações, a fim de obter todos os dados corretamente e fazer uma correta interpretação da situação descrita.

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