Question

Durante uma aula de Cálculo para os cursos de Engenharia, o professor se deparou com a expressão
   
ln8
x ln 2x  x ln x
.
Muitos alunos tiveram dúvidas e o professor deu a dica: “vocês devem usar as propriedades de logaritmo
para simplificar essa expressão”.
Ao simplificar essa expressão, o resultado correto, é:
A)
ln8
x

B)
ln2
2x

C)
2
x
D)
3
x

Answer 1

A expressão é: $\frac{xln(2x)-xln(x)}{ln(8)}$. E as alternativas são:

a) $\frac{x}{ln(8)}$

b) $\frac{2x}{ln(2)}$

c) $\frac{x}{2}$

d) $\frac{x}{3}$

Solução

Primeiramente, observe que no numerador temos ln(2x).

Existe uma propriedade de logaritmo que diz que: ln(a.b) = ln(a) + ln(b).

Assim, ln(2x) = ln(2) + ln(x).

Além disso, observe no numerador que podemos colocar o x em evidência.

Sendo assim, reescrevendo a expressão, obtemos:

$\frac{x(ln(2) + ln(x) - ln(x))}{ln(8)}=$

$\frac{xln(2)}{ln(8)} =$

Perceba que 8 = 2³.

Daí,

$\frac{xln(2)}{ln(2^3)}=$

Existe uma outra propriedade de logaritmo que diz que: ln(xᵃ) = a.ln(x).

Ou seja, ln(2³) = 3.ln(2).

Logo,

$\frac{xln(2)}{3ln(2)}$

$\frac{x}{3}$.

Portanto, a alternativa correta é a letra d).