Question

Durante quanto tempo uma pessoa que deseja juntar $ 30.000,00, iniciando sua aplicação com $ 10.000,00, deve deixar seu dinheiro aplicado a uma taxa de 10% a.m. no regime de juros compostos?
a. 12,5 meses.
b. 30 meses.
c. 15 meses.
d. 10 meses.
e. 12 meses.

Answer 1

Resposta:

12 meses ⇒ Letra E

Explicação passo a passo:

Num regime de juros compostos, podemos escrever:

$M=C(1+i)^t$

Onde C é o capital investido inicialmente, t é o tempo, i é a taxa de juros no tempo e M é o montante total (capital inicial acrescido dos juros).

No nosso problema, queremos descobrir o $t$ necessário para que tenhamos $M=\text{R\ } 30.000,00$ para uma aplicação de $C = \text{R\ }10.000,00$, a uma taxa de $i=10\%\;\text{a.m.}$ Usando a fórmula que vimos no início:

$M=C(1+i)^t\\\\30000=10000\cdot(1+10\%)^t\\\\\dfrac{30000}{10000}=(1+0,1)^t\\\\3=1,1^t$

Pela definição de logaritmo, temos que $b^x = a\Longrightarrow x = \log_b(a)$. Logo, usando essa definição na equação acima:

$1,1^t=3\Longrightarrow t = \log_{1,1}(3)$

$\boxed{t\approx11,53\;\text{meses}}$

Que obtivemos com o auxílio de uma calculadora. Assim, para juntar esse montante, ela deverá esperar pelo menos esse tempo que calculamos. Logo, pela análise das opções mais próximas, ela deve deixar o seu dinheiro aplicado por 12 meses (Letra E).

Answer 2

O tempo necessário é igual a 12 meses, a opção correta é a letra E.

Juros compostos

O montante em juros compostos é dado por:

$M= C(1+i)^t$,

onde C é o capital, i é o juros e t é o tempo.

Conforme é apresentado pela questão, o montante é igual a R$ 30 000, 00, o capital inicial é igual a R$ 10 000,00 e o juros dado por 10% ao mês.

Substituindo os valores na expressão apresentada inicialmente:

$30000=10000\cdot (1+0,10)^t \Rightarrow 1,10^t=3$

Aplicando o log em ambos os lados:

$t\cdot log(1,1)=log(3)$

Considerando log (1,1) = 0,0414 e log (3) = 0,477, obtém-se:

$t=\frac{0,477}{0,0414}=11,52$

Portanto, são necessários 12 meses.

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