Question

Durante o Verão, um grupo de estudantes constrói skates em um galpão alugado. O valor do aluguel do galpão e RS 1000,00 para o período e os materiais necessários para construir cada skates que custam RS 80,00. Os skates são vendidos por RS 200,00 cada um.
A) Trace, em um mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções custo e faturamento.
B) Qual e o menor numero de skates que devem ser vendidos para os estudantes não terem nenhum prejuízo?
C) Quando terminou o verão, eles haviam obtido um lucro de RS 15.500,00. quantos skates foram vendidos?

Answer 1

a) Custo vou chamar de C(x), faturamento chamarei de lucro L(x) e as receitas R(x).

Custo:

Os estudantes constroem os skates em um galpão cujo aluguel gasto (custo fixo) é de R$ 1000,00, os skates custarão R$ 80,00 cada. Podemos esboçar C(x) em função
$\boxed{C(x)=80x+1000}$

Receita:

A receita é o valor do faturamento, sabemos que lucrarão R$ 200,00 com cada skate, logo, a função R(x) será:
$R(x)=200x$

Ao esboçarmos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas obteremos:

b) O lucro é a receita menos os custos, logo:

$\boxed{L(x)=R(x)-C(x)}$
pegando R(x) e C(x) dados acima (em a) teremos:
$L(x)=200x-(80x+1000)\\L(x)=120x-1000$

Os estudantes terão prejuízos se $L(x)\ \textgreater \ 0$, ou seja:
$\forall L(x)\in(0,\infty)$ (para todo L(x) maior que 0, os estudantes não terão prejuízos, igualando L(x) a zero encontraremos:

$\displaystyle i)~~~~120x-1000=0\\\\ii)~~~120x=1000\\\\iii)~~x=\frac{1000}{120}\\\\iv)~~x=8,\bar{3}=8,33333333...$
ou seja. Os estudantes terão lucro se $\displaystyle x \geq \frac{100}{12}$
Observe o segundo gráfico:

c) Se o lucro foi R$ 15.500,00, precisamos igualar L(x) = 15500 e calcular a equaçãozinha formada:
$\displaystyle i)~~~~L(x)=15500\\\\ii)~~~120x-1000=15500\\\\iii)~~120x=16500\\\\iv)~~x=\frac{16500}{120}=\frac{1650}{12}\\\\v)~~x=137,5$
então foram aproximadamente 138 skates vendidos para obterem o lucro de 15500 como observado no terceiro gráfico:

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