Question

Durante o processo de combinação linear para a geração de um espaço, é importante frisar a importância de os vetores gerados serem LI.
No caso abaixo, julgue as afirmações sobre o tema levando em conta os três vetores geradores:

U¹ = (1,3,5)
U² = (2,4,6)
U³ = (4,a,b)

Texto elaborado pelo Professor, 2018.

I) Se a = 8 e b = 12, então o conjunto será LD e não pode ser usado para gerar o espaço.
II) Se a = 12 e b = 18, então o conjunto será LD e não pode ser usado para gerar o espaço.
III) Se a = 10 e b = 15, então o conjunto será LI e pode ser usado para gerar o espaço.
IV) Se a = 10 e b = 16, então o conjunto será LI e pode ser usado para gerar o espaço.

Estão corretas:

Alternativas

Alternativa 1:
I e II, apenas.

Alternativa 2:
II e III, apenas.

Alternativa 3:
I e III, apenas.

Alternativa 4:
I e IV, apenas.

Alternativa 5:
II e IV, apenas.

Answer 1

Vamos lembrar que: para formar um espaço os vetores deverão ser Linearmente Independentes e que:

Se o determinante entre os vetores for igual a 0, então os vetores são Linearmente Dependentes;

Se o determinante entre os vetores for diferente de 0, então os vetores são Linearmente Independentes.

Dito isso, vamos analisar cada afirmativa:

I) Se a = 8 e b = 12, temos que:

D = 1(4.12 - 8.6) - 3(2.12 - 4.6) + 5(2.8 - 4.4)

D = 48 - 48 - 3.(24 - 24) + 5(16 - 16)

D = 0

Portanto, os vetores são LD e não podem gerar o espaço.

A afirmativa está correta.

II) Se a = 12 e b = 18, então:

D = 1(4.18 - 12.6) - 3(2.18 - 4.6) + 5(2.12 - 4.4)

D = 72 - 72 - 3(36 - 24) + 5(24 - 16)

D = -36 + 40

D = 4

Os vetores são LI.

A afirmativa está errada.

III) Se a = 10 e b = 15, então:

D = 1(4.15 - 10.6) - 3(2.15 - 4.6) + 5(2.10 - 4.4)

D = 60 - 60 - 3(30 - 24) + 5(20 - 16)

D = -18 + 20

D = 2

Os vetores são LI e podem gerar o espaço.

A afirmativa está correta.

IV) Se a = 10 e b = 16, então:

D = 1(4.16 - 10.6) - 3(2.16 - 4.6) + 5(2.10 - 4.4)

D = 64 - 60 - 3(32 - 24) + 5(20 - 16)

D = 4 - 24 + 20

D = 0

Os vetores são LD.

A afirmativa está errada.

Portanto, a alternativa correta é a alternativa 3.