Durante o processo de combinação linear para a geração de um espaço, é importante frisar a importância de os vetores gerados serem LI. No caso abaixo, julgue as afirmações sobre o tema levando em conta os três vetores geradores: Texto elaborado pelo Professor, 2018. I) Se a = 8 e b = 12, então o conjunto será LD e não pode ser usado para gerar o espaço. II) Se a = 12 e b = 18, então o conjunto será LD e não pode ser usado para gerar o espaço. III) Se a = 10 e b = 15, então o conjunto será LI e pode ser usado para gerar o espaço. IV) Se a = 10 e b = 16, então o conjunto será LI e pode ser usado para gerar o espaço.
Soluções para a tarefa
Vamos lembrar que: para formar um espaço os vetores deverão ser Linearmente Independentes e que:
Se o determinante entre os vetores for igual a 0, então os vetores são Linearmente Dependentes;
Se o determinante entre os vetores for diferente de 0, então os vetores são Linearmente Independentes.
Dito isso, vamos analisar cada afirmativa:
I) Se a = 8 e b = 12, temos que:
D = 1(4.12 - 8.6) - 3(2.12 - 4.6) + 5(2.8 - 4.4)
D = 48 - 48 - 3.(24 - 24) + 5(16 - 16)
D = 0
Portanto, os vetores são LD e não podem gerar o espaço.
A afirmativa está correta.
II) Se a = 12 e b = 18, então:
D = 1(4.18 - 12.6) - 3(2.18 - 4.6) + 5(2.12 - 4.4)
D = 72 - 72 - 3(36 - 24) + 5(24 - 16)
D = -36 + 40
D = 4
Os vetores são LI.
A afirmativa está errada.
III) Se a = 10 e b = 15, então:
D = 1(4.15 - 10.6) - 3(2.15 - 4.6) + 5(2.10 - 4.4)
D = 60 - 60 - 3(30 - 24) + 5(20 - 16)
D = -18 + 20
D = 2
Os vetores são LI e podem gerar o espaço.
A afirmativa está correta.
IV) Se a = 10 e b = 16, então:
D = 1(4.16 - 10.6) - 3(2.16 - 4.6) + 5(2.10 - 4.4)
D = 64 - 60 - 3(32 - 24) + 5(20 - 16)
D = 4 - 24 + 20
D = 0
Os vetores são LD.
A afirmativa está errada.
Portanto, a alternativa correta é I e III