Question

Durante o processo de combinação linear para a geração de um espaço, é importante frisar a importância de os vetores gerados serem LI. No caso abaixo, julgue as afirmações sobre o tema levando em conta os três vetores geradores: ​ I) Se a = 8 e b = 12, então o conjunto será LD e não pode ser usado para gerar o espaço. II) Se a = 12 e b = 18, então o conjunto será LD e não pode ser usado para gerar o espaço. III) Se a = 10 e b = 15, então o conjunto será LI e pode ser usado para gerar o espaço. IV) Se a = 10 e b = 16, então o conjunto será LI e pode ser usado para gerar o espaço. Assinale a alternativa correta: ​ ALTERNATIVAS Apenas I e II. Apenas II e III. Apenas I e III. Apenas I e IV. Apenas II e IV. Responder

Answer 1

Os vetores são:

u₁ = (1,3,5)

u₂ = (2,4,6)

u₃ = (4,a,b)

Solução

Vamos analisar cada afirmativa.

Lembre-se que: se o determinante for diferente de 0, então os vetores são Linearmente Independentes. Se o determinante for igual a 0, então os vetores são Linearmente Dependentes.

I) Temos que:

D = 1(4.12 - 8.6) - 3(2.12 - 4.6) + 5(2.8 - 4.4)

D = 0 -3.0 + 5.0

D = 0

Ou seja, os vetores são LD e não podem gerar o espaço.

Afirmativa verdadeira.

II) Temos que:

D = 1(4.18 - 12.6) - 3(2.18 - 4.6) + 5(2.12 - 4.4)

D = 0 - 3.12 + 5.8

D = -36 + 40

D = 4

Como o determinante deu diferente de 0, então os vetores são LI.

Afirmativa falsa.

III) Temos que:

D = 1(4.15 - 10.6) - 3(2.15 - 4.6) + 5(2.10 - 4.4)

D = 0 - 3.6 + 5.4

D = 2

Ou seja, os vetores são LI e geram o espaço.

Afirmativa verdadeira.

IV) Temos que:

D = 1(4.16 - 10.6) - 3(2.16 - 4.6) + 5(2.10 - 4.4)

D = 4 - 3.8 + 5.4

D = 0

Ou seja, os vetores são LD.

Afirmativa falsa.