Question

Duas torneiras enchem um tanque, juntas, em 9 horas. A primeira gasta 3 horas a mais do que a segunda para faze-lo sozinha.
A) Qual equação do segundo grau
que modela quanto tempo gastará isoladamente, a segunda torneira para encher o tanque?
B)Quanto tempo gastara, isoladamente a segunda torneira para encher o tanque?

Answer 1

Seja T o tempo que a segunda torneira demora para encher o tanque. Então o tempo que a primeira torneira demorará será T + 3. Logo:

vazão da primeira torneira: 1/(T + 3)
vazão da segunda torneira: 1/T

9.(1/(T + 3) + 1/T) = 1
9/(T + 3) + 9/T = 1 multiplicar por T.(T + 3)
9.T + 9.(T + 3) = T.(T + 3)
9.T + 9.T + 27 = T² + 3.T
 T² + 3.T - 9.T - 9.T - 27 = 0
 T² - 15.T - 27 = 0

a = 1
b = -15
c = -27

Δ = (-15)² - 4.1.(-27) = 225 + 108 = 333

T' = (15 + 18)/2 = 33/2 = 16,5
T'' = (15 - 18)/2 = -3/2 = -1,5 (negativo não pode).

Portanto, a segunda torneira levará 16,5 horas.

SEGUNDA QUESTÃO DADA NO COMENTÁRIO:

Certa quantia e dividida em partes iguai, entre determinado número de pessoas. Se aumentarmos em 9 ao numero de pessoas cada uma receberá R$ 9,00 a menos,
e se, ao contrário diminuirmos em 3 pessoas, cada um receberá R$ 7,00 a mais. 

A) Qual a equação do segundo grau que modela a quantidade de pessoas e a parte de cada uma é ?

B) Qual a quantidade de pessoas a parte que cada uma receberá?   Seja x a quantia e y o número de pessoas:

x / (y + 9) = x/y – 9 => x = (x/y – 9).(y + 9) => x = x – 9.y + 9.x/y – 81 => -9.y + 9.x/y = 81 (divide por 3) => -3.y + 3.x/y = 27

x / (y – 3) = x/y + 7 => x = (x/y + 7).(y – 3) => x = x + 7.y -3.x/y – 21 => 7.y – 3.x/y = 21

Somamos ambas as equações do sistema e teremos:
-3.y + 3.x/y = 27
7.y – 3.x/y = 21
----------------------
4.y = 48
y = 12

Substituímos y = 12 em -3.y + 3.x/y = 27 e teremos:

-3.12 + 3.x/12 = 27
-36 + x/4 = 27
x/4 = 27 + 36
x/4 = 63
x = 4.63
x = 252