Question

Duas questões de Estatística, envolvendo alguns teoremas​

Answer 1

Questão 3:

Assuma que a altura (em cm) da população masculina de Curitiba siga o modelo Normal com os seguintes parâmetros $X \thicksim \mathcal{N}(175,100)$, X = altura.

A probabilidade quando se utiliza a distribuição normal é dada pela área debaixo da curva da Gaussiana no intervalo selecionado.

A distribuição normal é dada por:

$\mathcal{N} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \sigma} \cdot \exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2 \cdot \sigma^2} \right)$

Onde $\mu$ representa a média e $\sigma$ o desvio padrão.

a) Qual a probabilidade de selecionar uma homem com altura superior a 178 cm?

Basta calcular a integral:

$P = \int_{178}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot 100} \cdot \exp\left(-\dfrac{(x-175)^2}{2 \cdot 100^2} \right) \cdot dx$

O resultado dessa integração dá 0.4880335265858874.

Com isso, a probabilidade é de 48,803 %

O resultado é representado pela área em azul na figura em anexo.

b) Selecionando uma amostra de 10 homens, qual a chance que exatamente nove tenham altura superior a 178 cm?

Tá, eu vou supor aqui que se utilize a probabilidade de Bernoulli:

$p(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n-k}$

Onde:

$n$ é o número de tentativas;

$k$ é o número de sucessos;

$p$ é a probabilidade de sucesso.

Assim, considerando que a probabilidade de se ter um homem com altura superior a 178 cm é 0,48803. A probabilidade será de:

$p(10,9) = \dfrac{10!}{(10-9)! \cdot 9!} \cdot 0.48803^{9} \cdot (1 - 0.48803)^{10-9}$

$p(10,9) = \dfrac{10!}{(1)! \cdot 9!} \cdot 0.48803^{9} \cdot 0.51197^{1}$

$p(10,9) = 10 \cdot 1.5704 \cdot 10^{-3} \cdot 0.51197$

$p(10,9) = 8.04013 \cdot 10^{-3}$

Ou seja: 0,804013%.

c) Qual a probabilidade que a média de 10 homens seja superior a 178 cm?

Usando o Teorema Central do Limite, a única coisa que muda com relação a questão a) é o desvio padrão. Que agora será:

$\sigma_X = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Onde n é o tamanho da amostra.

$\sigma_X = \dfrac{100}{\sqrt{10}}$

$\sigma_X = 31,623$

Agora, a integral será:

$P = \int_{178}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot 31,623} \cdot \exp\left(-\dfrac{(x-175)^2}{2 \cdot 31,623^2} \right) \cdot dx$

O resultado dá 0.46220970609333534. Ou seja, 46,221 %

(Área em azul na Figura 2 em anexo)

Questão 4:

Extratos de rocha A e B são difíceis de distinguir no campo. Através de estudos de laboratório detalhados foi determinado que a única característica que pode ser útil para ajudar discriminar é a presença de fóssil de um determinado animal marinho (brachipodos)...

Teorema de Bayes:

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$

a) Dado que o fóssil não é encontrado, calcule a probabilidade de ser do extrato A

O que você quer calcular é o seguinte:

$P(X=A|\text{Fossil Ausente})$

A probabilidade que o material seja do tipo A dado que foi encontrado Fóssil Ausente. Então aplicaremos o Teorema:

$P(X=A|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{P(\text{Fossil Ausente}|X = A) \cdot P(X = A)}{P(\text{Fossil Ausente})}$

De acordo com o enunciado, a probabilidade de A aparecer é 4 vezes maior do que B. Com isso podemos supor que:

$P(A) = \dfrac{4}{5}$

e:

$P(B) = \dfrac{1}{5}$

A probabilidade de não se encontrar fóssil em um material do tipo A é dado pela tabela:

$P(\text{Fossil Ausente}|X=A) = 0.1 \text{ ou } \dfrac{1}{10}$

Já a probabilidade de se ter fóssil ausente em qualquer uma das amostras pode ser calculada por:

$P(\text{Fossil Ausente}) = P(\text{Fossil Ausente}|X = A) \cdot P(X = A) + P(\text{Fossil Ausente}|X = B) \cdot P(X = B)$

Pela tabela, encontramos que:

$P(\text{Fossil Ausente}|X = B) = 0.8\text{ ou }\dfrac{8}{10}$

Assim:

$P(\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{4}{5} + \dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{1}{5}$

$P(\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{4}{50} + \dfrac{8}{50}$

$P(\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{12}{50} = \dfrac{6}{25}$

Então agora nos resta apenas calcular o desejado:

$P(X=A|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{P(\text{Fossil Ausente}|X = A) \cdot P(X = A)}{P(\text{Fossil Ausente})}$

$P(X=A|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{4}{5}}{\dfrac{6}{25}}$

$P(X=A|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{\dfrac{4}{50}}{\dfrac{6}{25}}$

$P(X=A|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{4}{50} \cdot \dfrac{25}{6}$

$\boxed{P(X=A|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{1}{3}}$

b) Qual a probabilidade de ser do extrato B?

Mesma coisa do caso anterior, a única coisa que muda é que A vira B:

$P(X=B|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{P(\text{Fossil Ausente}|X = B) \cdot P(X = B)}{P(\text{Fossil Ausente})}$

$P(X=B|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{\dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{1}{5}}{\dfrac{6}{25}}$

$P(X=B|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{\dfrac{8}{50}}{\dfrac{6}{25}}$

$P(X=B|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{8}{50} \cdot \dfrac{25}{6}$

$\boxed{P(X=B|\text{Fossil Ausente}) = \dfrac{2}{3}}$