Question

Duas pirâmides, uma de base hexagonal e outra de base decagonal, têm a mesma altura e as arestas das bases são congruentes. Determine a razão entre os volumes dessas pirâmides !

Answer 1

Base decagonal , são 10 triângulos isósceles , com um ângulo interno = 360/10=36º e aresta = L , oposto a este vértice...as outras duas arestas = x

Usando a Lei dos cossenos :

L²=x²+x²-2*x*x*cos 36º
L²=2x²-2x²*cos 36º

x²=L/(2-2*cos36º)

Área de cada triângulo  da base do decágono

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Área para qualquer triângulo

A=(1/2) * L1*L2 * sen β   .....β ângulo entre L1 e L2

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A=(1/2) *x² * sen 36º

A= (1/2)*  L/(2-2*cos36º) * sen 36º = (L/4)*  (sen36º)/(1-cos 36º)

Área da base do decágono = 10* (L/4)*  (sen36º)/(1-cos 36º)
Área da base do decágono =  (5L/2)*  (sen36º)/(1-cos 36º)

Volume da pirâmide = (1/3) * H * (5L/2)*  (sen36º)/(1-cos 36º)
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Área da base do hexágono  ângulo interno =60º  e aresta oposto  =L

Área = (1/2)* L²* sen 60º
Área da base = 6* (1/2)* L²* sen 60º =3* L²* sen 60º

Volume = (1/3)* H * 3* L²* sen 60º

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razão :
          (1/3)* H * 3* L²* sen 60º
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(1/3) * H * (5L/2)*  (sen36º)/(1-cos 36º)

           3* L* sen 60º
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 (5/2)*  (sen36º)/(1-cos 36º)

=6* L* sen 60º*(1-cos36º)/5(sen36º)

=6* L* (√3/2)*(1-cos36º)/5(sen36º)

=3L√3(1-cos36º)/5(sen36º)