Question

Duas Pilotas de F2 movem-se ao longo de uma pista (eixo x). A posição da Pilota A é
dado por x1(t) =12t
2
-8t, onde x está em metros e t em segundos. A aceleração da Pilota
B é dada por a2(t) = -8t, onde a está em metros por segundo ao quadrado. Em t0 = 0, a
velocidade da Pilota B é 40 m/s e sua posição inicial é 400 m.
(a) Em que instante os dois ciclistas têm mesma velocidade?
(b) Que velocidade é esta?
(c) Determine, se houver, a posição em que A e B se cruzam.

Answer 1

Elas possuirão a mesma velocidade quando t = 6 segundos.

Vamos analisar o movimento de cada pilota.

Pilota A:

Equação de espaço:

x1(t) = 12t² - 8t

Comparando com a equação do movimento uniformemente variado x(t) = Xo + Vo*t + at²/2, podemos deduzir que:

a/2 = 12

a = 24 m/s²

Xo = 0 m

Vo = - 8 m/s

Equação horária da velocidade:

v(t) = Vo + at = -8 + 24t

Pilota B:

Equação da aceleração:

a2 = -8t

Sabemos que em t = 0 a velocidade é v = 40 m/s e Xo = 400.

Equação da velocidade:

$\int\limits {a(t)} \, dt = \int\limits {-8t} \, dt = -4t^2 + C$

Temos que v(0) = 40, logo:

$v(t) = \int\limits {a(t)} \, dt = -4t^2 + C\\\\v(0) = 40\\\\0 + C = 40\\\\C = 40$

Portanto:

v(t) = 40 - 4t²

Equação do espaço:

$x(t) = \int\limits {v(t)} \, dx = \int\limits {40 - 4t^2} \, dx = 40t - 4t^3/3 + C$

Sabemos que x(0) = 400 m, logo C = 400, portanto:

x(t) = 400 + 40t - 4t³/3

a) Igualando as velocidades v(t), teremos:

v(t) = v(t)

24t - 8 = 40 - 4t²

4t² + 24t - 48 = 0

Aplicando Bháskara:

Δ = b² - 4ac = 24² + 4*24*48 = 576 + 4608 = 5184

t = (-24±72)/8

t' = - 12 s

t'' = 6 s

Como não existe tempo negativo aqui, elas terão a mesma velocidade no instante t = 6 s.

b) Substituindo t = 6 em qualquer uma das fórmulas de v(t) teremos:

v(6) = 24*6 - 8 = 136 m/s

c) Vamos igualar as duas expressões x(t):

x(t) = x(t)

12t² - 8t = 400 + 40t - 4t³/3

4t³/3 + 12t² - 48t - 400 = 0

Anexei o gráfico da figura. Elas se encontram, aproximadamente, no instante t = 6 s. Substituindo:

x(6) = 12*6² - 8*6 = 432 - 48 = 348 m

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