Question

Duas pessoas iniciam uma caminhada a partir do vértice C de um triângulo. A primeira caminha por 2 km e para no vértice A. A segunda caminha por 2√3 km e para no vértice B. Se o ângulo BAC é de 120°, qual é a distância AB entre essas pessoas?
A) 2√2.
B) 2.
C) 1 + √3.
D) 3.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja AB = x

Pela lei do cossenos:

$\sf (2\sqrt{3})^2=x^2+2^2-2\cdot x\cdot2\cdot cos~120^{\circ}$

$\sf (2\sqrt{3})^2=x^2+2^2-2\cdot x\cdot2\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)$

$\sf 4\cdot3=x^2+4+\dfrac{4x}{2}$

$\sf 12=x^2+4+2x$

$\sf x^2+2x+4-12=0$

$\sf x^2+2x-8=0$

$\sf \Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-8)$

$\sf \Delta=4+32$

$\sf \Delta=36$

$\sf x=\dfrac{-2\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}=\dfrac{-2\pm6}{2}$

$\sf x'=\dfrac{-2+6}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{4}{2}~\Rightarrow~\red{x'=2}$

$\sf x"=\dfrac{-2-6}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-8}{2}~\Rightarrow~\red{x"=-4}$ (não serve)

Logo, AB = 2 km

Letra B

Answer 2

Letra B → 2 Km

Explicação passo-a-passo:

⇒ Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é dada pela fórmula:

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} - 2(bc)cosθ$

Onde:

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2$

$c = AB$

$θ = {120}^{o}$

$cos {120}^{o} = - \frac{1}{2}$

Reduzindo a fórmula:

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} - 2(bc)cos {120}^{o}$

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} - 2(bc)( - \frac{1}{2} )$

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} - 2( - \frac{bc}{2} )$

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} + \frac{2bc}{2}$

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} + bc$

Substituindo os valores:

$(2 \sqrt{3} )^{2} = {2}^{2} + {c}^{2} + 2c$

Trocando os valores de membros (não altera nada)

${2}^{2} + {c}^{2} + 2c = (2 \sqrt{3} )^{2}$

$4 + {c}^{2} + 2c = 12$

${c}^{2} + 2c + 4 = 12$

${c}^{2} + 2c + 4 - 12 = 0$

$c^{2} + 2c - 8 = 0$

Agora que chegamos a uma equação de segundo grau, podemos calculá-la por bháskara ou soma e produto.

Os novos coeficientes são:

a = 1

b = 2

c = - 8

∆ = b² - 4ac

∆ = 2² - 4(1)(-8)

∆ = 4 + 32

∆ = 36

$c = \frac{ - b ± \sqrt{delta} }{2a}$

$c = \frac{ - 2 ± \sqrt{36} }{2}$

$c_{1} = \frac{ - 2 - 6}{2}$

$c_{1} = \frac{ - 8}{2}$

$c_{1} = - 4$

$c_{1} = na \: geometria \: não \: convém$

$c_{2} = \frac{ - 2 + 6}{2}$

$c_{2} = \frac{ 4}{2}$

$c_{2} = 2 \: \: km$

Espero que eu tenha ajudado

Bons estudos