Question

duas pequenas esferas estão separadas por uma distância de 30cm. as duas esferas repelem-se com uma força de 7,5.10-6N. Considerando que a soma da carga elétrica das duas esferas é 20nC, A carga elétrica de cada esfera é, respectivamente,
a) 10nC e 10nC
b) 13nC e 7nC
c) 7,5nC e 10nC
d) 12nC e 8nC
e) 15nC e 5nC

Answer 1

O que está acontecendo?

As esferas estão eletrizadas com 20 nC.

Por estarem eletrizadas com cargas de mesmo sinal, repelem-se.

Essa força elétrica de repulsão é de $7{,}5.10^{-6}$ N.

A distância entre as duas é de 30 cm.

O enunciado também diz que elas são pequenas, por esse motivo vamos supor que o raio delas é desprezível.

Caso contrário, a distância considerada deveria ser os 30 cm + (r1 + r2), em que r1 + r2 seria a soma dos raios das duas esferas. Isto é, utilizar a distância entre os centros das esferas.

Como posso obter a carga de cada esfera?

Matematicamente, podemos obter a força elétrica por meio da Lei de Coulomb:  $Fel = \frac{k.Q1.Q2}{d^{2}}$

Nesse caso:

• k: constante eletrostática

• Q1: carga da primeira esfera

• Q2: carga da segunda esfera

• d: distância entre as duas esferas  

Vamos considerar k no vácuo: $9.10^{9}$ N.m²/C²

Nós não temos Q1 e Q2! Como vamos usar essa equação?

Se a carga das duas é 20 nC, podemos dizer que: Q1 + Q2 = 20 nC

Vou deixar tudo em função de Q1:

Q1

Q2 = 20 nC – Q1

Podemos resolver?

Ainda não.  

A constante eletrostática está no Sistema Internacional de Unidades (SI).  

Para que haja conformidade entre os dados e as cargas sejam obtidas em Coulomb (C), vamos deixar tudo no SI.

No SI:

• Distância é escrita em metros (m).

• Carga elétrica é escrita em Coulomb (C).

Lembre-se:  

1 m = 100 cm => $1 cm = \frac{1 m}{100}$  => 1 cm = $10^{-2}$ m

d = 30 cm = 30.(1 cm) = 30.($10^{-2}$ m) => d =  $3.10^{-1}$ m

Prefixos:

Nessa matéria, é muito comum que apareçam os seguintes prefixos:

• Mili = m =  $10^{-3}$ entidades

• Micro = µ = $10^{-6}$ entidades

• Nano = n = $10^{-9}$ entidades  

Não os esqueça!

Com entidades, quero dizer que quando associado com unidades de medida, esse será o significado desse prefixo.

Por exemplo: 20 mg (miligramas) = $20.10^{-3}$ g

Então:

$Q2 = 20.10^{-9} - Q1$

Resolução:

Basta substituir as informações na Lei de Coulomb.    

$Fel = \frac{k.Q1.Q2}{d^{2}}$

$7{,}5.10^{-6} = \frac{9.10^{9}.Q1.(20.10^{-9} - Q1)}{(3.10^-1)^{2}}$

$7{,}5.10^{-6} = \frac{9.10^{9}.Q1.(20.10^{-9} - Q1)}{9.10^{-2}}$

$7{,}5.10^{-6} = 10^{9}.Q1.(20.10^{-9} - Q1).10^{2}$

$7{,}5.10^{-6} = 10^{11}.Q1.(20.10^{-9} - Q1)$

$7{,}5.10^{-6}.10^{-11} = Q1.(20.10^{-9} - Q1)$

$7{,}5.10^{-17} = Q1.20.10^{-9} - Q1^{2}$

$Q1^{2} - 20.10^{-9}.Q1 +7{,}5.10^{-17} = 0$

Por Bhaskara:

$Q1 = \frac{-b+/-\sqrt{b^{2} -4.a.c}}{2.a}$

$a = 1$

$b = -20.10^{-9}$

$c = 7{,}5.10^{-17}$

$Q1 = \frac{20.10^{-9}+/-\sqrt{(2.10^{-8})^{2} -4.1.7{,}5.10^{-17}}}{2.1}$

$Q1 = \frac{20.10^{-9}+/-\sqrt{40.10^{-17} -30.10^{-17}}}{2}$

$Q1 = \frac{20.10^{-9}+/-\sqrt{10.10^{-17}}}{2}$

$Q1 = \frac{20.10^{-9}+/-\sqrt{1.10^{-16}}}{2}$

$Q1 = \frac{20.10^{-9}+/-(1.10^{-8})}{2}$

$Q1a = \frac{2.10^{-8}+1.10^{-8}}{2}$

$Q1a = \frac{3.10^{-8}}{2}$

$Q1a = \frac{30.10^{-9}}{2}$

$Q1a = 15.10^{-9}$ C

$Q1b = \frac{2.10^{-8}-1.10^{-8}}{2}$

$Q1b = \frac{1.10^{-8}}{2}$

$Q1b = \frac{10.10^{-9}}{2}$

$Q1b = 5.10^{-9}$ C

Considerando o primeiro resultado:

$Q1 = 15.10^{-9}$ C

Q2 = 20 nC – Q1

$Q2 = 20.10^{-9} - 15.10^{-9}$

$Q2 = 5.10^{-9}$ C

Considerando o segundo resultado:

$Q1 = 5.10^{-9}$ C

Q2 = 20 nC – Q1

$Q2 = 20.10^{-9} - 5.10^{-9}$

$Q2 = 15.10^{-9}$ C

Ou seja:

• Se Q1 = Q1a, Q2 = Q1b
• Se Q1 = Q1b, Q2 = Q1a

Resposta: e) 15nC e 5nC

Nossa resposta também poderia ser 5 nC e 15 nC, pois isso depende de quem será nossa esfera com Q1 e quem será a com Q2.

Espero ter ajudado. :)

Aprenda mais:

1) Por que o SI foi criado?

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2) Na Física, o que são unidades de medida e grandezas?

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